Exercise 3.6: Even and Odd Time Signals

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„Keilfunktion” sowie gerades/ungerades Zeitsignal

Gesucht ist das Spektrum $X(f)$ des nebenstehend skizzierten impulsförmigen Signals $x(t)$, das im Bereich von $–T/2$ bis $+T/2$ linear von $2\,\text{ V}$ auf $4\,\text{ V}$ ansteigt und außerhalb $0$ ist.

Die Spektralfunktionen der unten dargestellten Signale $g(t)$ und $u(t)$ werden als bekannt vorausgesetzt:

• Die gerade, rechteckförmige Zeitfunktion $g(t)$ besitzt das Spektrum

$$G( f ) = A_g \cdot T \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( { {\rm{\pi }}fT} ) \hspace{0.3cm} {\rm{mit}}\hspace{0.3cm} {\mathop{\rm si}\nolimits}( x ) = \frac{ {\sin ( x )}}{x}.$$

• Das Spektrum der unsymmetrischen Funktion $u(t)$ lautet:

$$U( f ) = - {\rm{j}} \cdot \frac{ {A_u \cdot T}}{ {2{\rm{\pi }}fT}}\left[ {{\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm{\pi }}fT} ) - \cos ( { {\rm{\pi }}fT} )} \right].$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation.
• Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation an Beispielen verdeutlicht.
• Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe des Zuordnungssatzes.
• Verwenden Sie für die beiden ersten Teilaufgaben die Signalparameter $A_u = 1\,\text{ V}$ und $T = 1\,\text{ ms}$.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die (rein imaginären) Spektralwerte des unsymmetrischen Signals $u(t)$ bei den Frequenzen $f = 0.5\,\text{ kHz}$ und $f = 1\,\text{ kHz}$.

${\rm Im}[U(f=0.5 \,\text{kHz})] \ = \ $  $\text{mV/Hz}$

${\rm Im}[U(f=1.0 \,\text{kHz})]\ = \ $  $\text{mV/Hz}$

2

Wie groß ist der Spektralwert von $u(t)$ bei der Frequenz $f = 0$?     Hinweis: Lieber denken als rechnen.

${\rm Im}[U(f=0)]\ = \ $  $\text{mV/Hz}$

3

Berechnen Sie unter Verwendung des Ergebnisses aus (1) den Spektralwert des Signals $x(t)$ bei der Frequenz $f=0.5 \,\text{kHz}$.

${\rm Re}[U(f=0.5 \,\text{kHz})]\ = \ $  $\text{mV/Hz}$

${\rm Im}[U(f=0.5 \,\text{kHz})]\ = \ $  $\text{mV/Hz}$

Musterlösung

Solution

(1)  Für $f \cdot T = 0.5$ erhält man aus der angegebenen Gleichung:

$$U( {f = 0.5\;{\rm{kHz}}} ) = - {\rm{j}} \cdot \frac{ {A_u \cdot T}}{ {\rm{\pi }}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{2}} ) = - {\rm{j}} \cdot \frac{2}{ { {\rm{\pi }}^{\rm{2}} }} \cdot A_{\rm u} \cdot T.$$

• Der Imaginärteil ist zahlenmäßig ${\rm Im}[U(f=0.5 \,\text{kHz})]\; \underline{\approx 0.2 \,\text{mV/Hz}}$.
• Dagegen liefert die si-Funktion bei $f \cdot T = 1$ den Wert $0$, während der Cosinus gleich $-1$ ist. Damit erhält man mit $A_u = 1\,\text{V}$ und $T = 1\,\text{ms}$:

$$U( {f = 1\;{\rm{kHz}}} ) = {\rm{j}} \cdot \frac{ {A_{\rm u} \cdot T}}{ { {\rm{2\pi }}}} \hspace{0.3 cm} \Rightarrow \hspace{0.3 cm} {\rm Re} [\text{...}] \hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.3 cm}{\rm Im} [\text{...}] \hspace{0.15 cm}\underline{\approx 0.159 \;{\rm{mV/Hz}}}.$$

(2)  Eine ungerade Zeitfunktion $u(t)$ besitzt nach dem Zuordnungssatz stets ein imaginäres und gleichzeitig ungerades Spektrum:   $U( { - f} ) = - U( f ).$ Mit dem Grenzübergang $f \rightarrow \infty$ folgt aus der angegebenen Gleichung

$$U( f ) = - {\rm{j}} \cdot \frac{ {A_u \cdot T}}{ {2{\rm{\pi }}fT}}\big[ { {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }}fT} ) - \cos ( { {\rm{\pi }}fT} )} \big]$$

das Ergebnis $U(f = 0) = 0$. Formal könnte man dieses Ergebnis durch Anwendung der l'Hospitalschen Regel bestätigen.

Wir gehen etwas pragmatischer vor. Setzen wir zum Beispiel $f \cdot T = 0.01$, so erhält man:

$$U( {f \cdot T = 0.01}) = -{\rm{j}} \cdot \frac{ {A_{\rm u} \cdot T}}{{0.02{\rm{\pi }}}}\big[ {{\mathop{\rm si}\nolimits} ( {0.01{\rm{\pi }}} ) - \cos ( {0.01{\rm{\pi }}} )} \big ] = - {\rm{j}} \cdot \frac{ {A{\rm u} \cdot T}}{{0.02{\rm{\pi }}}}( {0.999836 - 0.999507} ) \approx - {\rm{j}} \cdot 5 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V/Hz}}{\rm{.}}$$

• Für noch kleinere Frequenzwerte wird auch das Ergebnis immer kleiner.
• Schneller kommt man zum Ergebnis $U(f = 0)\;\underline{ = 0}$, wenn man berücksichtigt, dass das Integral über $u(t)$ verschwindet.
• Man muss also gar nicht rechnen.

(3)  Das Signal $x(t)$ kann in einen geraden und einen ungeraden Anteil aufgeteilt werden, die zum geraden Realteil bzw. zum ungeraden Imaginärteil von $X(f)$ führen:

• Der gerade Anteil ist gleich der Funktion $g(t)$ mit $A_g = 3\,\text{V}$. Daraus folgt für den Realteil des Spektralwertes bei $f \cdot T = 0.5$:

$${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {X( {f \cdot T = 0.5} )} \right] = A_{\rm g} \cdot T \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{2}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 1.91 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$

• Der Imaginärteil ergibt sich aus der Spektralfunktion $U(f)$ mit $A_u = 1\,\text{V}$. Dieser wurde bereits in der Teilaufgabe (1) berechnet:

$${\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {X( {f \cdot T = 0.5} )} \right] \hspace{0.15 cm}\underline{\approx - 0.2 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$