Exercise 3.9: Convolution of Rectangle and Gaussian Pulse

Rechteckförmiges $x(t)$ und gaußförmiges $h(t)$

Wir betrachten in der Aufgabe einen gaußförmigen Tiefpass mit der äquivalenten Bandbreite $\Delta f = 40 \,\text{MHz}$:

$$H( f ) = {\rm{e}}^{{\rm{ - \pi }}( {f/\Delta f} )^2 } .$$

Die dazugehörige Impulsantwort lautet:

$$h( t ) = \Delta f \cdot {\rm{e}}^{{\rm{ - \pi }}( {\Delta f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t} )^2 } .$$

Aus der Skizze ist zu ersehen, dass die äquivalente Zeitdauer ⇒ $\Delta t = 1/\Delta f = 25\,\text{ns}$ der Impulsantwort $h(t)$ an den beiden Wendepunkten der Gaußfunktion abgelesen werden kann.

An den Eingang des Tiefpasses werden nun drei verschiedene impulsartige Signale angelegt:

ein Rechteckimpuls $x_1(t)$ mit der Amplitude $A_1 =1\,\text{V}$ und der Dauer $T_1 = 20\,\text{ns}$ (roter Verlauf),
ein Rechteckimpuls $x_2(t)$ mit der Amplitude $A_2 =10\,\text{V}$ und der Dauer $T_2 = 2\,\text{ns}$ (violetter Verlauf),
ein Diracimpuls $x_3(t)$ mit dem Impulsgewicht $2 \cdot 10^{–8},\text{Vs}$ (grüner Pfeil).

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Faltungssatz und Faltungsoperation.

Zur Lösung der nachfolgenden Fragen können Sie das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral benutzen, das wie folgt definiert ist:

Einige Werte der Q-Funktion

Die nebenstehende Tabelle gibt einige Funktionswerte wieder.

$${\rm Q}( x ) = \frac{1}{ {\sqrt {2{\rm{\pi }}} }}\int_{\it x}^\infty {{\rm{e}}^{{{ - {\it u}}}^{\rm{2}} {\rm{/2}}} }\hspace{0.1cm}{\rm{d}}{\it u}.$$

Fragebogen

$y_1(t=0)\ = \ $

$\text{V}$

$y_1(t=20\,\text{ns})\ = \ $

$\text{V}$

$y_2(t=0)\ = \ $

$\text{V}$

$y_2(t=20 \,\text{ns})\ = \ $

$\text{V}$

$y_3(t=0)\ = \ $

$\text{V}$

$y_3(t=20\, \text{ns})\ = \ $

$\text{V}$

Musterlösung

Solution

(1) Das Faltungsintegral lautet hier:

$$y_1( t ) = A_1 \cdot \Delta f \cdot \int_{t - T_1 /2}^{t + T_1 /2} {{\rm{e}}^{{\rm{ - \pi }}( {\Delta f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \tau } )^2 } }\hspace{0.1cm} {\rm{d}}\tau = \frac{A_1 }{\sqrt{2\pi }} \cdot\int_{u_1 }^{u_2 } {{\rm{e}}^{ - u^2 /2}\hspace{0.1cm} {\rm{d}}u.}$$

Hierbei wurde die Substitution $u = \sqrt {2{\rm{\pi }}} \cdot \Delta f \cdot \tau$ verwendet. Die Integrationsgrenzen liegen bei:

$$u_1 = \sqrt {2{\rm{\pi }}} \cdot \Delta f \cdot \left( {t - T_1 /2} \right),\hspace{0.5cm}u_2 = \sqrt {2{\rm{\pi }}} \cdot \Delta f \cdot \left( {t + T_1 /2} \right).$$

Mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral kann hierfür auch geschrieben werden:

$$y_1 (t) = A_1 \cdot \left[ {{\rm Q} ( {u_1 } ) - {\rm Q}( {u_2 } )} \right].$$

Für den Zeitpunkt $t = 0$ erhält man mit $(2\pi )^{1/2} \approx 2.5$:

$$u_2 = \sqrt {2{\rm{\pi }}} \cdot \Delta f \cdot \frac{ {T_1 }}{2} \approx 2.5 \cdot 4 \cdot 10^{7} \;{\rm{1/s}} \cdot 10^{-8} \;{\rm{s}} = 1.$$

Mit $u_1 = -u_2 = -1$ folgt für die beiden gesuchten Signalwerte:

$$y_1 ( {t = 0} ) \approx A_1 \cdot \left[ {{\rm Q}( { - 1} ) - {\rm Q}(+ 1 )} \right] = 1\;{\rm{V}} \cdot \left[ {{\rm{0}}{\rm{.841 - 0}}{\rm{.159}}} \right] \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.682\;{\rm{V}}}{\rm{,}}$$

$$y_1 ( {t = 20\;{\rm{ns}}} ) \approx A_1 \cdot \left[ {{\rm Q}( 1 ) - {\rm Q}( 3 )} \right] = 1\;{\rm{V}} \cdot \left[ {{\rm{0}}{\rm{.159 - 0}}{\rm{.001}}} \right] \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.158\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$

(2) Analog zur ersten Musterlösung erhält man für den schmaleren Eingangsimpuls $x_2(t)$:

$$y_2 ( {t = 0} ) \approx A_2 \cdot \left[ {{\rm Q}( { - 0.1} ) - {\rm Q}( {0.1} )} \right] = 10\;{\rm{V}} \cdot \left[ {{\rm{0}}{\rm{.540 - 0}}{\rm{.460}}} \right] \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.80\;{\rm{V}}}{\rm{,}}$$

$$y_2 ( {t = 20\,{\rm ns}} ) \approx A_2 \cdot \left[ {{\rm Q}( {1.9} ) - {\rm Q}( {2.1} )} \right] = 10\;{\rm{V}} \cdot \left[ {{\rm{0}}{\rm{.029 - 0}}{\rm{.018}}} \right] \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.11\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$

(3) Beim diracförmigen Eingangssignal $x_3(t)$ ist das Ausgangssignal $y_3(t)$ gleich der Impulsantwort $h(t)$, gewichtet mit dem Gewicht der Diracfunktion:

$$y_3 (t) = 2 \cdot 10^{ - 8} \,{\rm{Vs}} \cdot 4 \cdot 10^7 \;{\rm{1/s}} \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {\Delta f \cdot t})^2 }.$$

Zum Zeitpunkt $t = 0$ erhält man auch hier mit guter Näherung $0.8\, {\rm V}$.
Nach $20\, \rm ns$ ist der Ausgangsimpuls um den Faktor ${\rm e}^{–0.64π} \approx 0.136$ kleiner und man erhält das Ergebnis $y_3( t = 20 \,\text{ns}) ≈ 0.11 \,\text{V}$.

Man erkennt aus dem Vergleich der Resultate aus (2) und (3), dass $y_3(t)$ ≈ $y_2(t)$ gilt.

Der Grund hierfür ist, dass der Diracimpuls eine gute Näherung für einen rechteckförmigen Eingangsimpuls gleicher Fläche ist, wenn die Rechteckdauer $T$ deutlich kleiner ist als die äquivalente Impulsdauer $\Delta t$ der Impulsantwort.
Das heißt für unser Beispiel: Ist die Dauer $T$ des rechteckförmigen Eingangsimpulses $x(t)$ deutlich kleiner als die äquivalente Dauer $\Delta t$ der gaußförmigen Impulsantwort $h(t)$, dann ist auch der Ausgangsimpuls $y(t)$ nahezu gaußförmig.