Exercise 2.2Z: Discrete Random Variables

Verschiedene Rechtecksignale

Gegeben seien drei diskrete Zufallsgrößen $a$, $b$ und $c$, die als die Momentanwerte der dargestellten Signale definiert seien. Diese besitzen folgende Eigenschaften:

Die Zufallsgröße $a$ kann die Werte $+1$ und $-1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.
Auch die Zufallsgröße $b$ ist zweipunktverteilt, aber mit ${\rm Pr}(b = 1) = p$ und ${\rm Pr}(b = 0) = 1 - p$.
Die Wahrscheinlichkeiten von $c$ seien ${\rm Pr}(c = 0) = 1/2$ und ${\rm Pr}(c = +1) = Pr(c = -1) =1/4$.
Zwischen den drei Zufallsgrößen $a$, $b$ und $c$ bestehen keine statistischen Abhängigkeiten.
Aus den Zufallsgrößen $a$, $b$ und $c$ wird eine weitere Zufallsvariable $d=a-2 b+c$ gebildet.

Die Grafik zeigt Ausschnitte dieser vier Zufallsgrößen. Es ist zu erkennen, dass $d$ alle ganzzahligen Werte zwischen $-4$ und $+2$ annehmen kann.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Momente einer diskreten Zufallsgröße.

Eine Zusammenfassung der Theamatik bietet das Lernvideo Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen.

Fragebogen

$\sigma_a \ = \ $

$p = 0.25\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.3cm} \sigma_b \ = \ $

$\sigma_c \ = \ $

$p = 0.25\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.3cm} m_d\ = \ $

$p = 0.25\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.3cm} m_{2d}\ = \ $

$p = 0.25\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.3cm} \sigma_d\ = \ $

Musterlösung

Solution

(1) Aufgrund der Symmetrie gilt: $$\rm \it m_{\it a}=\rm 0; \hspace{0.5cm}\it m_{\rm 2\it a}=\rm 0.5\cdot (-1)^2 + 0.5\cdot (1)^2{ = 1}.$$

Daraus erhält man mit dem Satz von Steiner: $$\it\sigma_a^{\rm 2} = \rm\sqrt{1-0^2}=1 \hspace{0.5cm}bzw. \hspace{0.5cm}\it\sigma_a\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 1}.$$

(2) Allgemein gilt für das Moment $k$–ter Ordnung: $$ m_{k}=(1-p)\cdot 0^{ k} + p\cdot 1^{k}= p.$$

Daraus folgt mit $p = 1/4$: $$m_{b}= m_{2b}= p, \hspace{0.5cm} \sigma_{\it b}=\sqrt{p\cdot (1- p)}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 0.433} .$$

(3) Für die Zufallsgröße $c$ gilt: $$m_{\it c} = 0\hspace{0.1cm} ({\rm symmetrisch\hspace{0.1cm}um\hspace{0.1cm}0)}, \hspace{0.5cm}m_{2\it c}= {1}/{4}\cdot(-1)^2+{1}/{2}\cdot 0^2+{1}/{4}\cdot (1)^2={1}/{2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_{\it c}=\rm \sqrt{1/2}\hspace{0.15cm} \underline{=0.707}.$$

(4) Nach den allgemeinen Regeln für Erwartungswerte gilt mit $p = 0.25$: $$m_{\it d} = {\rm E}[a-2 b+c]= {\rm E}[a] \hspace{0.1cm} -\hspace{0.1cm}\rm 2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} {\rm E}[ b]\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} {\rm E}[ c] = m_{ a}\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} m_{\it b}\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} m_{\it c} = 0-2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} p + 0 \hspace{0.15cm} \underline{= -0.5}.$$

(5) Analog zur Teilaufgabe (4) erhält man für den quadratischen Mittelwert: $$m_{2d}= {\rm E}[( a-2b+c)^{\rm 2}] = {\rm E}[a^{\rm 2}]\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}4\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} {\rm E}[ b^{\rm 2}]\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} {\rm E}[c^{\rm 2}]\hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}4\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} {\rm E}[a\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b]\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} 2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}{\rm E}[ a\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}c]\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm} 4\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}{\rm E}[ b\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}c].$$

Da aber $a$ und $b$ statistisch voneinander unabhängig sind, gilt auch: $${\rm E}[a\cdot b] = {\rm E}[ a] \cdot {\rm E}[ b]= m_{ a}\cdot m_{ b} = 0, \hspace{0.1cm} {\rm da}\hspace{0.1cm} m_{ a}=\rm 0.$$

Gleiches gilt für die anderen gemischten Terme. Daher erhält man mit $p = 0.25$: $$ m_{2 d}=m_{2 a}+4\cdot m_{ 2 b}+m_{ 2 c}=1+4\cdot p+0.5\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 2.5}.$$

(6) Für allgemeines $p$ bzw. für $p = 0.25$ ergibt sich: $$\sigma_{\it d}^{\rm 2}=1.5+4\cdot p - 4 \cdot p^{\rm 2}=2.25 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{d}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 1.5}.$$

Die maximale Varianz ergäbe sich für $p = 0.50$ zu $\sigma_{\it d}^{\rm 2}=2.50$.