Exercise 2.6: PN Generator of Length 5
In der Grafik sehen Sie einen Pseudozufallsgenerator der Länge $L = 5$, der zur Erzeugung einer Binärfolge $\langle z_{\nu} \rangle$ eingesetzt werden soll.
- Zum Startzeitpunkt seien alle Speicherzellen mit Einsen vorbelegt.
- Zu jedem Taktzeitpunkt wird der Inhalt des Schieberegisters um eine Stelle nach rechts verschoben und der aktuell erzeugte Binärwert $z_{\nu}$ (0 oder 1) in die erste Speicherzelle eingetragen.
Hierbei ergibt sich $z_{\nu}$ aus der Modulo-2-Addition zwischen $z_{\nu-3}$ und $z_{\nu-5}$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen.
- Wir möchten Sie gerne auch auf das folgende Lernvideo hinweisen:
Fragebogen
Musterlösung
- Das Generatorpolynom $G(D)$ kennzeichnet die Rückführungen, die zur Modulo-2-Addition herangezogen werden.
- $D$ ist ein formaler Parameter, der eine Verzögerung um einen Takt angibt.
- $D^3$ kennzeichnet dann eine Verzögerung um drei Takte.
(2) Es ist $g_0 = g_3 = g_5 = 1$. alle anderen Rückführungskoeffizienten sind $0$. Daraus folgt:
$$(g_{\rm 5}\hspace{0.1cm}g_{\rm 4}\hspace{0.1cm}g_{\rm 3}\hspace{0.1cm}g_{\rm 2}\hspace{0.1cm}g_{\rm 1}\hspace{0.1cm}g_{\rm 0})=\rm (101001)_{bin}\hspace{0.15cm} \underline{=(51)_{oct}}.$$
(3) Da das Generatorpolynom $G(D)$ primitiv ist, erhält man eine M-Sequenz. Dementsprechend ist die Periodendauer maximal: $P_{\rm max} = 2^{L}-1 \hspace{0.15cm}\underline {= 31}.$ Im Theorieteil ist in der Tabelle mit den PN-Generatoren maximaler Länge (M-Sequenzen) für den Grad $5$ die Konfiguration $(51)_{\rm oct}$ aufgeführt.
(4) Das reziproke Polynom lautet: $$G_{\rm R}(D)=D^{\rm 5}\cdot(D^{\rm -5}+\D^{\rm -3}+ 1)= D^{\rm 5}+D^{\rm 2}+1.$$
Somit ist die Oktalkennung für diese Konfiguration $\rm (100101)_{bin}\hspace{0.15cm} \underline{=(45)_{oct}}.$
(5) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:
- Die Ausgangsfolge der reziproken Realisierung $G_{\rm R}(D)$ eines primitiven Polynoms $G(D)$ ist immer ebenfalls eine M-Sequenz.
- Beide Folgen sind zueinander invers. Das bedeutet: Die Ausgangsfolge von$(45)_{\rm oct}$ ist gleich der Folge von $(51)_{\rm oct}$, wenn man diese von rechts nach links liest und eine Phase (zyklische Verschiebung) berücksichtigt.
- Voraussetzung ist wieder, dass nicht alle Speicherzellen mit Nullen vorbelegt sind. Unter dieser Bedingung weisen beide Folgen tatsächlich auch gleiche statistische Eigenschaften auf.