Exercise 2.11: Envelope Demodulation of an SSB Signal

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Hüllkurve bei Einseitenband–Modulation

Wir betrachten die Übertragung des Cosinussignals

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)$$

gemäß dem Modulationsverfahren „OSB–AM mit Träger”. Beim Empfänger wird das hochfrequente Signal mittels eines Hüllkurvendemodulators in den NF-Bereich zurückgesetzt

Der Kanal wird als ideal vorausgesetzt, so dass das Empfangssignal $r(t)$ identisch mit dem Sendesignal $s(t)$ ist. Mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis

$$\mu = \frac{A_{\rm N}}{2 \cdot A_{\rm T}}$$

kann für das äquivalente Tiefpass–Signal auch geschrieben werden:

$$r_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \left( 1 + \mu \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot \hspace{0.03cm}\hspace{0.03cm}t} \right) \hspace{0.05cm}$$

Die Hüllkurve – also der Betrag dieses komplexen Signals – kann durch geometrische Überlegungen ermittelt werden. Man erhält abhängig vom Parameter $μ$:

$$a(t ) = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 + 2 \mu \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)}\hspace{0.05cm}.$$

In der Grafik ist die zeitabhängige Hüllkurve a(t) für $μ = 1$ und $μ = 0.5$ dargestellt. Als gestrichelte Vergleichskurven sind jeweils die in der Amplitude angepassten Cosinusschwingungen eingezeichnet, die für eine verzerrungsfreie Demodulation Voraussetzung wären.

Das periodische Signal $a(t)$ kann durch eine Fourierreihe angenähert werden:

$$a(t ) = A_{\rm 0} + A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t) + A_{\rm 2} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} \cdot t)+ A_{\rm 3} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t)\hspace{0.05cm}+\text{...}$$

Die Fourierkoeffizienten wurden mit Hilfe eines Simulationsprogrammes ermittelt. Für $μ = 1$ ergaben sich folgende Werte:

$$A_{\rm 0} = 1.273\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.849\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = -0.170\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 3} = 0.073\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 4} = 0.040\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend ergab die Simulation mit $μ = 0.5$:

$$A_{\rm 0} = 1.064\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.484\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = 0.058\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$

Die hier nicht angegebenen Werte können bei der Klirrfaktorberechnung vernachlässigt werden. Das Sinkensignal $v(t)$ ergibt sich aus $a(t)$ wie folgt:

$$v(t) = 2 \cdot [a(t ) - A_{\rm 0}] \hspace{0.05cm}.$$

Der Faktor $2$ korrigiert dabei die Amplitudenminderung durch die ESB–AM, während die Subtraktion des Gleichsignalkoeffizienten $A_0$ den Einfluss des Hochpasses innerhalb des Hüllkurvendemodulators berücksichtigt.

Für die Teilaufgaben (1) bis (3) wird $A_{\rm N} = 2 \ \rm V$, $A_{\rm T} = 1 \ \rm V$ und somit $μ = 1$ vorausgesetzt, während ab Frage (4) für den Parameter $μ = 0.5$   ⇒   $A_{\rm N} = A_{\rm T} = 1 \ \rm V$ gelten soll.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einseitenbandmodulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Seitenband-zu-Träger-Verhältnis.
• Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse auch mit der Faustformel, die besagt, dass bei der Hüllkurvendemodulation eines ESB–AM–Signals mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis $μ$ der Klirrfaktor $K ≈ μ/4$ beträgt.

Fragebogen

1

Geben Sie den Maximalwert und den Minimalwert des Sinkensignals $v(t)$ für $μ = 1$ an.

$v_{\rm max} \ = \ $ $\ \rm V$

$v_{\rm min} \ = \ $ $\ \rm V$

2

Berechnen Sie den Klirrfaktor für $μ = 1$.

$K \ = \ $ $\ \text{%}$

3

Woran erkennt man die nichtlinearen Verzerrungen im vorliegenden Signal $v(t)$?

	Die untere Cosinushalbwelle ist spitzförmiger als die obere.
	Der Gleichsignalanteil ${\rm Ε}[v(t)] = 0$.

4

Geben Sie den Maximalwert und den Minimalwert des Sinkensignals $v(t)$ für $μ = 0.5$ an.

$v_{\rm max} \ = \ $ $\ \rm V$

$v_{\rm min} \ = \ $ $\ \rm V$

5

Berechnen Sie den Klirrfaktor für $μ = 0.5$.

$K \ = \ $ $\ \text{%}$

6

Geben Sie eine obere Schranke $K_{\rm max}$ für den Klirrfaktor bei ZSB–AM mit $m = 0.5$ und Hüllkurvendemodulation an, wenn ein Seitenband durch den Kanal gedämpft wird.

$K_{\rm max} \ = \ $ $\ \text{%}$

Musterlösung

Solution

(1)  Der Maximalwert $a_{\rm max} = 2\ \rm V$ und der Minimalwert $a_{\rm min} = 0$ können aus der Grafik abgelesen oder über die angegebene Gleichung berechnet werden:

$$a_{\rm max} = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 + 2 \mu}= A_{\rm T} \cdot (1+ \mu) = 2\,{\rm V} \hspace{0.05cm},$$

$$a_{\rm min} = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 - 2 \mu}= A_{\rm T} \cdot (1- \mu) = 0 \hspace{0.05cm}.$$

Für die Extremwerte des Sinkensignals folgt daraus:

$$v_{\rm max} = 2 \cdot [a_{\rm max} - A_{\rm 0}] = 2 \cdot [2\,{\rm V} - 1.273\,{\rm V}] \hspace{0.15cm}\underline {=1.454\,{\rm V}}\hspace{0.05cm},$$

$$v_{\rm min} = -2 \cdot A_{\rm 0} \hspace{0.15cm}\underline {= -2.546\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Unter Vernachlässigung der Fourierkoeffizienten $A_5$, $A_6$, usw. erhält man:

$$K = \frac{\sqrt{A_2^2 + A_3^2+ A_4^2 }}{A_1}= \frac{\sqrt{0.170^2 + 0.073^2 + 0.040^2 }{\,\rm V}}{0.849\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 22.3 \%}.$$

Die Näherung $K ≈ μ/4$ liefert hier den Wert $25\%$.

(3)  Nur der erste Lösungsvorschlag ist richtig. Aufgrund des Hochpasses innerhalb des Hüllkurvendemodulators wäre der Gleichsignalanteil auch dann $0$, wenn keine Verzerrungen vorlägen.

(4)  Analog zur Teilaufgabe (1) gilt hier:

$$v_{\rm max} = 2 \cdot [a_{\rm max} - A_{\rm 0}] = 2 \cdot [1.5\,{\rm V} - 1.064\,{\rm V}] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.872\,{\rm V}}\hspace{0.05cm},$$

$$v_{\rm min} = -2 \cdot A_{\rm 0} \hspace{0.15cm}\underline {= -2.128\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(5)  Bei kleinerem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis ergibt sich auch ein kleinerer Klirrfaktor:

$$K = \frac{0.058{\,\rm V}}{0.484\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 12 \%}.$$

Die Näherung $K ≈ μ/4$ ergibt hier $12.5\%$. Daraus kann geschlossen werden, dass die angegebene Faustformel bei kleinerem $μ$ genauer ist.

(6)  Der Klirrfaktor ist dann am größten, wenn eines der Seitenbänder völlig abgeschnitten wird. Da aber der Hüllkurvendemodulator keinerlei Kenntnis davon hat, ob

• eine ESB–AM, oder
• eine durch denm Kanal extrem beeinträchtigte ZSB–AM

vorliegt, gibt $K_{\rm max} ≈ μ/4$ gleichzeitig eine obere Schranke für die ZSB–AM an.

Ein Vergleich der Parameter $m = A_{\rm N}/A_{\rm T}$ und $μ = A_{\rm N}/(2A_{\rm T})$ führt zum Ergebnis:

$$K_{\rm max} = \frac{\mu}{4} = \frac{m}{8} \hspace{0.15cm}\underline {=6.25 \%}.$$