Exercise 3.7: Angular Modulation of a Harmonic Oscillation

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Möglicher FM–Demodulator

Das an einem Empfänger ankommende Signal lautet:

$$r(t) = 3\,{\rm V} \cdot \cos \hspace{-0.05cm} \big[2 \pi \cdot 1\,{\rm MHz} \cdot t + 3 \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\big]\hspace{0.05cm}.$$

Bei  $r(t)$  handelt es sich um ein winkelmoduliertes Signal, das bei der Übertragung weder verzerrt noch durch Rauschen beaufschlagt wurde. Die Signale  $v_{\rm PM}(t)$  und  $v_{\rm FM}(t)$  ergeben sich nach idealer Demodulation mittels

• Phasendemodulator, gegeben durch die Gleichung

$$v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {K_{\rm PM}} = 2\,{\rm V}^{-1}\hspace{0.05cm},$$

• Frequenzdemodulator, bestehend aus PM–Demodulator, Differenzierer und einer Konstanten $K$.

Damit alle Signale gleiche Einheiten besitzen, ist diese Konstante $K$ dimensionsbehaftet.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Frequenzmodulation.
• Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel  Phasenmodulation  und auf den Abschnitt  Signalverläufe bei Frequenzmodulation.

Fragebogen

1

Welche Aussagen treffen mit Sicherheit zu?

	Es könnte eine PM–Modulation vorliegen.
	Es könnte eine FM–Modulation vorliegen.
	Die Nachrichtenphase ist sicher  $ϕ_{\rm N} = 0$.
	Die Nachrichtenfrequenz ist sicher  $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$.

2

Berechnen Sie das Signal  $v_{\rm PM}(t)$  nach dem Phasendemodulator. Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt  $t = 0$?

$v_{\rm PM}(t = 0) \ = \ $ $\ \rm V$

3

Berechnen Sie das Signal  $v_{\rm FM}(t)$. Wie groß ist die Nachrichtenphase  $ϕ_{\rm N}$?

$ϕ_{\rm N} \ = \ $ $\ \rm Grad$

4

Wie groß ist  $K$  zu wählen, damit die Amplitude von  $v_{\rm FM}(t)$  gleich  $1.5 \ \rm V$  ist?

$K\ = \ $ $\ \rm \cdot 10^4 \ 1/s$

5

Welche der folgenden Aussagen treffen für das FM–modulierte Signal zu?

	Der Phasenhub beträgt  $ϕ_{\rm max} = 3$.
	Der Frequenzhub beträgt  $Δf_{\rm A} = 30 \ \rm kHz$.
	Es treten Augenblicksfrequenzen zwischen  $0.97\ \rm MHz$  und  $1.03 \ \rm MHz$  auf.
	Mit  $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$  würde sich am Phasenhub nichts ändern.
	Mit  $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$  würde sich am Frequenzhub nichts ändern.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:

• Aus der Gleichung für $r(t)$ kann lediglich abgelesen werden, dass es sich um eine Winkelmodulation handelt, nicht jedoch, ob eine Phasenmodulation (PM) oder eine Frequenzmodulation (FM) vorliegt.
• Aufgrund der Gleichung steht fest, dass die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$ beträgt.
• Die Phase $ϕ_{\rm N} = 0$ des Quellensignals würde dagegen nur zutreffen, wenn eine Phasenmodulation vorläge.

(2)  Mit der Modulatorkonstanten $K_{\rm PM} = 2 \ \rm V^{–1}$ erhält man hierfür:

$$v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) = \frac{3}{2\,{\rm V}^{-1}} \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$

Für den Zeitpunkt $t = 0$ gilt deshalb:

$$v_{\rm PM}(t = 0) = {A_{\rm N}} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.5\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Für das Ausgangssignal $v_{\rm FM}(t)$ des FM–Demodulators – bestehend aus PM–Demodulator und Differenzierer – kann man schreiben:

$$v_{\rm FM}(t) = \frac{{\rm d}v_{\rm PM}(t)}{{\rm d}t} \cdot K = \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot (- \sin(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t))= \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot \cos(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t + 90^\circ)\hspace{0.05cm}.$$

Die Nachrichtenphase ist somit $ϕ_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= 90^\circ}$.

(4)  In diesem Fall muss gelten:   $K ={2 \pi \cdot f_{\rm N}} \hspace{0.15cm}\underline { = 6.28 \cdot 10^{4} \,\,{1}/{ s}} \hspace{0.05cm}.$

(5)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2, 3 und 5:

• Der Phasenhub ist identisch mit dem Modulationsindex, der aus der angegebenen Gleichung abgelesen werden kann:

$$\phi_{\rm max} = \eta = 3 = \frac{\Delta f_{\rm A}}{ f_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$

• Damit erhält man den Frequenzhub $Δf_{\rm A} = 3 · f_{\rm N} = 30 \ \rm kHz$.
• Mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 1 \ \rm MHz$ kann somit die Augenblicksfrequenz $f_{\rm T}(t)$ nur Werte zwischen $1±0.03 MHz$ annehmen.

Es gilt also auch folgende Aussage: Bei halber Nachrichtenfrequenz verdoppelt sich der Phasenhub $η$, während der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ davon nicht beeinflusst wird:

$$\eta = \frac{K_{\rm PM} \cdot A_{\rm N}}{ f_{\rm N}} = 6 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_{\rm A} = \eta \cdot f_{\rm N} = 6 \cdot 5\,{\rm kHz} = 30\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$