Exercise 1.6: Root Nyquist System

Cosinus-Spektrum

Die nebenstehende Grafik zeigt

das Spektrum $G_{s}(f)$ des Sendegrundimpulses,
den Frequenzgang $H_{\rm E}(f)$ des Empfangsfilters

eines binären und bipolaren Übertragungssystems, die zueinander formgleich sind:

$$G_s(f) = \left\{ \begin{array}{c} A \cdot \cos \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right) \\ \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ \\ \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c}|f| \le f_2 \hspace{0.05cm}, \\ \\ {\rm sonst }\hspace{0.05cm}, \\ \end{array}$$

$$H_{\rm E }(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \cdot \cos \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right) \\ \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ \\ \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c}|f| \le f_2 \hspace{0.05cm}, \\ \\ {\rm sonst }\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

In der gesamten Aufgabe gelte $A = 10^{–6} \ \rm V/Hz$ und $f_{2} = 1 \ \rm MHz$.

Unter der Voraussetzung, dass die Bitrate $R = 1/T$ richtig gewählt wird, erfüllt der Detektionsgrundimpuls $g_{d}(t) = g_{s}(t) ∗ h_{\rm E}(t)$ das erste Nyquistkriterium. Bei der dazugehörigen Spektralfunktion $G_{d}(f)$ erfolgt dabei der Flankenabfall cosinusförmig ähnlich einem Cosinus–Rolloff–Spektrum. Der Rolloff–Faktor $r$ ist in dieser Aufgabe zu ermitteln.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Optimierung der Basisbandübertragungssysteme.

Zahlenwerte der Q–Funktion liefert zum Beispiel das Interaktionsmodul Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen.
Der Crestfaktor ist der Qotient aus Maximalwert und Effektivwert des Sendesignals und damit ein Maß für die sendeseitigen Impulsinterferenzen:

$$C_{\rm S} = \frac{s_0}{\sqrt{E_{\rm B}/T}} = \frac{{\rm Max}[s(t)]}{\sqrt{{\rm E}[s^2(t)]}}= {s_0}/{s_{\rm eff}}.$$

Fragebogen

$f_{\rm Nyq} \ = \ $

$\ \rm MHz$

$r \ = \ $

$R \ = \ $

$\ \rm Mbit/s$

	Das Gesamtsystem erfüllt die Nyquistbedingung.
	Der Crestfaktor ist $C_{\rm S} = 1$.
	Das Empfangsfilter $H_{\rm E}(f)$ ist an den Sendegrundimpuls $G_{s}(f)$ angepasst.

$p_{\rm B} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6}$

Musterlösung

Solution

(1) Mit den Funktionen $G_{s}(f)$ und $H_{\rm E}(f)$ gilt für das Spektrum des Detektionsgrundimpulses für $|f| \leq f_{2}$:

$$G_d(f) = G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = A \cdot \cos^2 \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right).$$

Nach der allgemeinen Definition des Cosinus–Rolloff–Spektrums ergeben sich die Eckfrequenzen $f_{1} = 0$ und $f_{2} = 1\ \rm MHz$. Daraus folgt für die Nyquistfrequenz (Symmetriepunkt bezüglich des Flankenabfalls):

$$f_{\rm Nyq} = \frac{f_1 +f_2 } {2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$

Der Rolloff–Faktor beträgt

$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.1cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$

Das bedeutet: $G_{d}(f)$ beschreibt ein $\cos^{2}$–Spektrum.

(2) Der Zusammenhang zwischen Nyquistfrequenz und Symboldauer $T$ lautet $f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$. Daraus folgt für die Bitrate $R = 1/T = 2 \cdot f_{\rm Nyq}\ \underline{= 1 \ \rm Mbit/s}$. Beachten Sie die unterschiedlichen Einheiten für Frequenz und Bitrate.

(3) Die erste und die dritte Lösungsalternative sind zutreffend:

Es handelt es sich um ein optimales Binärsystem unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung.
Der Crestfaktor ist bei Leistungsbegrenzung nicht von Bedeutung. Bei den hier gegebenen Voraussetzungen würde $C_{\rm S} > 1$ gelten.

(4) Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines optimalen Systems kann wie folgt berechnet werden:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$

Im vorliegenden Beispiel erhält man für die mittlere Energie pro Bit:

$$E_{\rm B} = \ \int_{-\infty}^{+\infty}|G_s(f)|^2 \,{\rm d} f = A^2 \cdot \int_{-1/T}^{+1/T} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f = \ \frac {A^2}{T} = \frac {(10^{-6}\,{\rm V/Hz})^2}{10^{-6}\,{\rm s}} = 10^{-6}\,{\rm V^2s}\hspace{0.05cm}.$$

Mit $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8} \ \rm V^{2}/Hz$ ergibt sich daraus weiter:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{8 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2/Hz}}}\right)= {\rm Q} \left( \sqrt{25}\right)= {\rm Q} (5) \hspace{0.1cm}\underline {= 0.287 \cdot 10^{-6}}\hspace{0.05cm}.$$