Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen (neues Applet)
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Programmbeschreibung
Dieses Applet ermöglicht die Darstellung der Hadamard-Matrizen $\mathbf{H}_J$ zur Konstruktion der Walsh-Funktionen $w_j$. Dabei können der Faktor $J$ der Bandspreizung sowie die Markierung der einzelnen Walsh-Funktionen (durch blaue Umrandung der Zeilen der Matrix) verändert werden.
Theoretischer Hintergrund
Anwendung
Die Walsh-Funktionen sind eine Gruppe von periodischen orthogonalen Funktionen. Ihr Anwendungsbereich in der digitalen Signalverarbeitung liegt vor allem in der Verwendung zur Bandspreizung bei CDMA-Systemen, beispielsweise dem Mobilfunkstandard UMTS.
- Aufgrund ihrer Orthogonalitätseigenschaften und der günstigen PKKF-Bedingungen (periodische KKF) stellen die Walsh-Funktionen für einen verzerrungsfreien Kanal und ein synchrones CDMA-System optimale Spreizfolgen dar. Nimmt man zwei beliebige Zeilen und bildet die Korrelation (Mittelung über die Produkte), so ergibt sich stets der PKKF–Wert Null.
- Bei asynchronem Betrieb (Beispiel: Uplink eines Mobilfunksystems) oder De–Orthogonalisierung aufgrund von Mehrwegeausbreitung sind dagegen Walsh–Funktionen allein zur Bandspreizung nicht unbedingt geeignet – siehe Aufgabe 5.4.
- Hinsichtlich PAKF (periodische AKF) sind diese Folgen weniger gut: Jede einzelne Walsh–Funktion hat eine andere PAKF und jede einzelne PAKF ist ungünstiger als bei einer vergleichbaren PN–Sequenz. Das bedeutet: Die Synchronisierung ist bei Walsh–Funktionen schwieriger als mit PN–Sequenzen.
Konstruktion
Die Konstruktion der Walsh-Funktionen kann rekursiv mithilfe der Hadamard-Matrizen erfolgen. Eine Hadamard-Matrix $\mathbf{H}_J$ der Ordnung $J$ ist eine $J\times J$-Matrix, die zeilenweise die $\pm 1$-Gewichte der Walsh-Folgen enthält. Die Ordnungen der Hadamard-Matrizen sind dabei auf Zweierpotenzen festgelegt, d.h. es gilt $J = 2^G$ für eine natürliche Zahl $G$. Ausgehend von $\mathbf{H}_1 = [+1]$ und
\begin{equation}
\mathbf{H}_2 =
\left[ \begin{array}{rr}
+1 & +1\\
+1 & -1 \\
\end{array}\right]
\end{equation}
gilt der folgende Zusammenhang zur Generierung weiterer Hadamard-Matrizen:
\begin{equation}
\mathbf{H}_{2N} =
\left[ \begin{array}{rr}
+\mathbf{H}_N & +\mathbf{H}_N\\
+\mathbf{H}_N & -\mathbf{H}_N \\
\end{array}\right]
\end{equation}
Die Grafik zeigt die Hadamard–Matrix $\mathbf H_8$ (rechts) und die damit $J -1$ konstruierbaren Spreizfolgen.
- $J - 1$ deshalb, da die ungespreizte Folge $w_0(t)$ meist nicht verwendet wird.
- Beachten Sie bitte in der Grafik die farbliche Zuordnung zwischen den Zeilen der Hadamard–Matrix und den Spreizfolgen $w_j(t)$.
- Die Matrix $\mathbf H_4$ ist gelb hinterlegt.
Zur Handhabung des Applets
(A) Auswahl des Faktors zur Bandspreizung als Zweierpotenz von $G$
(B) Auswahl der jeweiligen Walsh-Funktion $w_j$
Über die Autoren
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.
- Die erste Version wurde 2007 von Thomas Großer im Rahmen seiner Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
- 2018/2019 wurde das Programm von Marwen Ben Ammar und Xiaohan Liu (Bachelorarbeit, Betreuer: Tasnád Kernetzky ) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.
