Exercise 1.16Z: Bounds for the Gaussian Error Function

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${\rm Q}(x)$ und verwandte Funktionen

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Gaußsche Zufallsgröße $n$ mit Streuung $\sigma$ → Varianz $\sigma^2$ betragsmäßig größer ist als ein vorgegebener Wert $A$, ist gleich

$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) ={\rm Q}(A/\sigma) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei verwendet ist eine der wichtigsten Funktionen für die Nachrichtentechnik (in der Grafik rot eingezeichnet): die Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion

$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm}.$$

${\rm Q}(x)$ ist eine monoton fallende Funktion mit ${\rm Q}(0) = 0.5$. Für große Werte von $x$ tendiert ${\rm Q}(x) \to 0$.

Das Integral der ${\rm Q}$–Funktion ist analytisch nicht lösbar und wird meist in Tabellenform angegeben.

Aus der Literatur bekannt sind aber handhabbare Näherungen bzw. Schranken für positive $x$–Werte:

• die obere Schranke (obere blaue Kurve in nebenstehender Grafik, nur gültig für $x > 0$):

$${\rm Q_o}(x)=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2}\hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm},$$

• die untere Schranke (untere blaue Kurve in der Grafik, nur gültig für $x > 1$):

$${\rm Q_u}(x)=\frac{\rm 1-{\rm 1}/{\it x^{\rm 2}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot \rm e^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.15cm} \le \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm},$$

• die Chernoff–Rubin–Schranke (grüne Kurve in der Grafik, gezeichnet für $K = 1$):

$${\rm Q_{CR}}(x)=K \cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm}.$$

In der Aufgabe ist zu untersuchen, in wie weit diese Schranken als Näherungen für ${\rm Q}(x)$ herangezogen werden können und welche Verfälschungen sich dadurch ergeben.

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit.
• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Gaußverteilte Zufallsgrößen im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
• Die Aufgabe bietet auch einige wichtige Hinweise zur Lösung der Aufgabe 1.16, in der die Funktion ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ zur Herleitung der Bhattacharyya–Schranke für den AWGN–Kanal benötigt wird.
• Weiter verweisen wir auf das interaktive Applet Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen.

Fragebogen

1

Welche Werte liefern die obere und die untere Schranke für $x = 4$?

${\rm Q_{o}}(x = 4) \ = \ $ $\ \cdot 10^{-5}$

${\rm Q_{u}}(x = 4) \ = \ $ $\ \cdot 10^{-5}$

2

Welche Aussagen gelten für die Funktionen ${\rm Q_{o}}(x)$ und ${\rm Q_{u}}(x)$?

	Für $x ≥ 2$ sind die beiden Schranken brauchbar.
	Für $x < 1$ ist ${\rm Q_{u}}(x)$ unbrauchbar (wegen ${\rm Q_{u}}(x)< 0$).
	Für $x < 1$ ist ${\rm Q_{o}}(x)$ unbrauchbar (wegen ${\rm Q_{o}}(x)> 1$).

3

Um welchen Faktor liegt die Chernoff–Rubin–Schranke oberhalb von ${\rm Q_{o}}(x)$?

${\rm Q}_{\rm CR}(x = 2)/{\rm Q_{o}}(x = 2 ) \ = \ $

${\rm Q}_{\rm CR}(x = 4)/{\rm Q_{o}}(x = 4 ) \ = \ $

${\rm Q}_{\rm CR}(x = 6)/{\rm Q_{o}}(x = 6 ) \ = \ $

4

Bestimmen Sie $K$ so, dass $K \cdot {\rm Q}_{\rm CR}(x)$ möglichst nahe bei ${\rm Q}(x)$ liegt und gleichzeitig ${\rm Q}(x) ≤ K · {\rm Q}_{\rm CR}(x)$ für alle $x > 0$ eingehalten wird.

$K \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Die obere Schranke lautet:

$${\rm Q_o}(x)=\frac{1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q_o}(4 )=\frac{1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{-8 }\hspace{0.15cm}\underline{\approx 3.346 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$

Die untere Schranke kann wie folgt umgewandelt werden:

$${\rm Q_u}( x)=(1-1/x^2) \cdot {\rm Q_o}(x) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q_u}(4 ) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 3.137 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$

Die relativen Abweichungen gegenüber dem „echten” Wert ${\rm Q}(4) = 3.167 · 10^{–5}$ sind $+5\%$ bzw. $–1\%$.

(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

• Für $x = 2$ wird der tatsächliche Funktionswert ${\rm Q}(x) = 2.275 · 10^{–2}$ begrenzt durch ${\rm Q_{o}}(x) = 2.7 · 10^{–2}$ bzw. ${\rm Q_u}(x) = 2.025 · 10^{–2}$.
• Die relativen Abweichungen betragen demzufolge $18.7\%$ bzw. $–11\%.$
• Die letzte Aussage ist falsch: Erst für $x < 0.37$ gilt ${\rm Q_o}(x) > 1.$

(3)  Für den Quotienten aus ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ und ${\rm Q_o}(x)$ gilt nach den vorgegebenen Gleichungen:

$$q(x) = \frac{{\rm Q_{CR}}(x)}{{\rm Q_{o}}(x)} = \frac{{\rm exp}(-x^2/2)}{{\rm exp}(-x^2/2)/({\sqrt{2\pi} \cdot x})} = {\sqrt{2\pi} \cdot x}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} q(x) \approx 2.5 \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} q(x =2) \hspace{0.15cm}\underline{=5}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q(x =4)\hspace{0.15cm}\underline{=10}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q(x =6) \hspace{0.15cm}\underline{=15}\hspace{0.05cm}.$$

• Je größer der Abszissenwert $x$ ist, um so ungenauer wird ${\rm Q}(x)$ durch ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ angenähert.
• Bei Betrachtung der Grafik auf der Angabenseite hat man (hatte ich) den Eindruck, dass ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ sich aus ${\rm Q}(x)$ durch Verschieben nach unten bzw. Verschieben nach oben ergibt. Das ist aber nur eine optische Täuschung und entspricht nicht dem Sachverhalt.

(4)  Mit $\underline{K = 0.5}$ stimmt die neue Schranke $0.5 · {\rm Q}_{\rm CR}(x)$ für $x = 0$ exakt mit ${\rm Q}(x=0) = 0.500$ überein. Für größere Abszissenwerte wird damit auch die Verfälschung $q \approx 1.25 · x$ nur halb so groß.