Exercise 2.4: DSL/DMT with IDFT/DFT

Zeitabtastwerte bei 3 verschiedenen DMT-Spektralbelegungen

Eine Realisierungsform des DMT–Verfahrens (steht für Discrete Multitone Transmission) basiert auf der Inversen Diskreten Fouriertransformation (IDFT) beim Sender sowie der Diskreten Fouriertransformation (DFT) am Empfänger.

Beim Sender werden $N/2–1$ Nutzer durch die komplexen Spektralkoeffizienten $D_{k} (k = 1,$ ... , $N/2–1)$ den Frequenzen $f_{k} = k \cdot f_{0}$ zugewiesen. Die Grundfrequenz $f_{0}$ ist der Kehrwert der Symboldauer $T$.

Es gilt $D_{k} \in \{ ±1 ± {\rm j} \}$, falls ein Kanal belegt ist, im anderen Fall ist $D_{k} = 0$. Die Koeffizienten $D_{0}$ und $D_{N/2}$ sind stets Null. Die obersten Koeffizienten werden konjugiert–komplex belegt:

$$D_k = D_{N-k}^{\star},\hspace{0.2cm}k = N/2 +1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, N-1 \hspace{0.05cm}.$$

Dadurch wird sicher gestellt, dass das Zeitsignal $s(t)$ stets reell ist. Die Abtastwerte $s_{0}$, ... , $s_{N–1}$ dieses Signals werden dabei durch die IDFT gebildet, wobei der zeitliche Abstand zweier Abtastwerte

$$\Delta t = T/N = 1/(N \cdot f_{0})$$

beträgt. Durch Tiefpassfilterung erhält man das zeitkontinuierliche Signal.

Bei ADSL/DMT gilt $N = 512$ und $f_{0} = 4.3125 \ \rm kHz$. In dem hier betrachteten Beispiel seien die Parameter zur Vereinfachung wie folgt angenommen:

$$N = 16,\hspace{0.2cm}\Delta t = 10\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm}.$$

In der obigen Tabelle sind für drei verschiedene $D_{k}$–Belegungen die Abtastwerte $s_{l} (l = 0$, ... , $15)$ nach der IDFT angegeben. Gesucht sind die zugehörigen Spektralkoeffizienten $D_{k}\ (k = 0$, ... , $15).$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel xDSL als Übertragungstechnik.
Das Sendesignal hat bei DSL die Form

$$s(t) = \sum_{k = 1}^{K} \left [ 2 \cdot {\rm Re}\{D_k\} \cdot \cos(2\pi \cdot k f_0 \cdot t ) - 2 \cdot {\rm Im}\{D_k\} \cdot \sin(2\pi \cdot k f_0 \cdot t )\right ] \hspace{0.05cm}.$$

Beachten Sie auch die folgende trigonometrische Beziehung:

$$\cos(2\pi f_0 t + \phi_0) = \cos( \phi_0) \cdot \cos(2\pi f_0 t ) - \sin( \phi_0) \cdot \sin(2\pi f_0 t ) \hspace{0.05cm}.$$

Man bezeichnet als den Crestfaktor (oder den Scheitelfaktor) eines Signals das Verhältnis von Maximalwert und Effektivwert.
Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet Diskrete Fouriertransformation überprüfen.

Fragebogen

$K \ = \ $

$B \ = \ $

$\ \rm kHz $

	$D_{1} = 1- \rm j, \ alle \ anderen \ 0,$
	$D_{1} = 1 + {\rm j}, D_{15} = 1 - \rm j, \ alle \ anderen \ 0,$
	$D_{1} = 1 + {\rm j}, D_{15} = 1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0.$

	$D_{2} = -1 - {\rm j}, D_{14} = -1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$,
	$D_{3} = 1 - {\rm j}, D_{13} = 1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$,
	$D_{3} = -1 - {\rm j}, D_{13} = -1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$.

	$D_{1} = 1 + {\rm j}, \ D_{3} = -1 -{\rm j}, \ D_{13} = -1 +{\rm j}, \ D_{15} = 1 - {\rm j}$,
	$D_{k} = (-1)^k + {\rm j} \cdot (–1)^{k+1}$.

$s_{\rm max}/s_{\rm eff} \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1) Das System ist für $K = N/2 – 1 \underline{= 7 \ {\rm Nutzer}}$ ausgelegt $(N = 16)$.

(2) Die Rahmendauer $T$ ergibt sich zu $N \cdot \Delta t = 0.16 \rm ms$.

Die Grundfrequenz ist hier dementsprechend $f_{0} = 1/T = 6.25 \ \rm kHz$ und die Gesamtbandbreite beträgt $B = 8 \cdot f_{0} \ \underline{= 50 \ \rm kHz}$.
Zum Vergleich: Bei ADSL ergibt sich diese Bandbreite zu $256 \cdot 4.3125 \ \rm kHz= 1104 \ kHz.$

(3) Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag:

Aus den $16$ Abtastwerten $s_{l}$ in der ersten Spalte der Tabelle (Belegung $\boldsymbol{\rm A}$) erkennt man, dass $s(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Periodendauer $T_{0} = T$ beschreibt (nur eine Schwingung). Die Amplitude ist gleich $2 \cdot \sqrt{2} =2.828$ und die Phase beträgt $\phi_0 = 45^\circ \ (π/4)$.
Damit kann für das zeitkontinuierliche Signal geschrieben werden (mit $f_{0} = 1/T$):

$$s(t) = 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi f_0 t + \pi /4) \hspace{0.05cm}.$$

Mit der angegebenen trigonometrischen Umformung und ${\rm cos} \ (π/4) \ = \ {\rm sin} \ (π/4) \ = \ \sqrt{2}$ gilt weiterhin:

$$s(t) = 2 \cdot \cos(2\pi f_0 t ) - 2 \cdot \sin(2\pi f_0 t ) \hspace{0.05cm}.$$

Ein Koeffizientenvergleich mit der weiteren Gleichung

$$s(t) = \sum_{k = 1}^{K} \left [ 2 \cdot {\rm Re}[D_k] \cdot \cos(2\pi \cdot k f_0 \cdot t ) - 2 \cdot {\rm Im}[D_k] \cdot \sin(2\pi \cdot k f_0 \cdot t )\right ] \hspace{0.05cm}$$

liefert das Ergebnis:

$$2 \cdot {\rm Re}[D_1] = 2 \hspace{0.3cm} \ \Rightarrow \ \hspace{0.3cm} {\rm Re}[D_1] = 1\hspace{0.05cm},$$

$$2 \cdot {\rm Im}[D_1] = 2 \hspace{0.3cm} \ \Rightarrow \ \hspace{0.3cm} {\rm Im}[D_1] = 1\hspace{0.05cm}.$$

Weiterhin ist zu beachten, dass der Koeffizient $D_{15}$ mit dem konjugiert–komplexen Wert zu belegen ist:

$$D_{15} = D_{1}^{\star} = 1 - {\rm j}\hspace{0.05cm}.$$

Zum gleichen Ergebnis wäre man durch Auswertung der (zeitkontinuierlichen) Fouriertransformierten von $s(t)$ gekommen:

$$S(f) = (1 + {\rm j}) \cdot \delta (f - f_0) + (1 - {\rm j}) \cdot \delta (f + f_0)\hspace{0.05cm}.$$

Der Koeffizient $D_1$ beschreibt das Gewicht bei der ersten Diracfunktion (also bei $f = f_0$), der Koeffizient $D_{15} = D_{-1}$ das Gewicht der Diracfunktion bei $f = -f_0$. Hierbei ist die implizite periodische Fortsetzung bei der DFT (bzw. IDFT) zu beachten.

(4) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3, wobei nun $D_{13} = D_{3}^∗$ zu berücksichtigen ist.

Zeichnet man die Abtastwerte $s_l$ auf, so erkennt man nun die 3–fache Frequenz. Zum Beispiel ergibt sich aus dem Vergleich von $s_2$ und $s_{10}$:

$$8 \cdot \Delta t ={T}/{2} = 1.5 \cdot T_0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} T_0 = {T}/{3}\hspace{0.05cm}.$$

Die Amplitude ist gegenüber der Belegung $\boldsymbol{\rm A}$ unverändert. Die Phase $\phi_0$ erkennt man aus dem ersten Maximum bei $l = 2$:

$$ s(t) \ = \ 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi \cdot 3 f_0 \cdot ( t - 2 \cdot \Delta t)) = \ 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi \cdot 3 f_0 \cdot t + \phi_0), \hspace{0.3cm} \phi_0 = 12 \pi \cdot \frac{\Delta t}{T} = \frac{3 \pi}{4} \hspace{0.05cm}.$$

Nach gleicher Vorgehensweise wie bei Aufgabe 3) erhält man nun mit $ {\rm cos}(3π/4) \ = \sin(3π/4) = –\sqrt{2}/2$:

$${\rm Re}\{D_3\} = -1, \hspace{0.2cm} {\rm Im}\{D_3\} = -1\hspace{0.05cm}.$$

(5) Richtig ist hier der erste Lösungsvorschlag:

Aufgrund der Linearität der IDFT ergeben sich die Koeffizienten $D_1$, $D_3$, $D_{13}$ und $D_{15}$ entsprechend den Ergebnissen der Teilaufgaben (4) und (5).

(6) Die Belegung $\boldsymbol{\rm C}$ führt zu der Summe zweier harmonischer Schwingungen (mit $f_0$ bzw. $3f_0$), jeweils mit gleicher Amplitude $A$. Somit ergibt sich für die mittlere Signalleistung:

$$P_{\rm S} = 2 \cdot \frac{A^2}{2} = A^2 = 8\hspace{0.05cm}.$$

Der Effektivwert ist gleich der Wurzel aus der Sendeleistung $P_{\rm S}$:

$$s_{\rm eff} = \sqrt{P_{\rm S}} = A = 2.828\hspace{0.05cm}.$$

Der Maximalwert ist aus der Tabelle ablesbar:

$$s_{\rm max} = 5.226\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm max}/s_{\rm eff} = \frac{5.226}{2.828} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 1.85 \hspace{0.05cm}}.$$

Dagegen würde bei den beiden Belegungen $\boldsymbol{\rm A}$ und $\boldsymbol{\rm B}$ jeweils $s_{\rm max}/s_{\rm eff}= \sqrt{2} = 1.414$ gelten.