Exercise 3.2: Spectrum with Angle Modulation

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Tabelle der Besselfunktionen

Es wird hier von folgenden Gleichungen ausgegangen:

• Quellensignal:

$$q(t) = 2\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm},$$

• Sendesignal:

$$s(t) = 1\,{\rm V} \cdot \cos\hspace{-0.1cm}\big[2 \pi \cdot 100\,{\rm kHz} \cdot t + K_{\rm M} \cdot q(t)\big ]\hspace{0.05cm},$$

• Empfangssignal (idealer Kanal:

$$r(t) = s(t) = 1\,{\rm V} \cdot \cos\hspace{-0.1cm}\big[2 \pi \cdot 100\,{\rm kHz} \cdot t + \phi(t)\big ]\hspace{0.05cm},$$

• idealer Demodulator:

$$v(t) = \frac{1}{ K_{\rm M}} \cdot \phi(t)\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die Besselfunktionen  ${\rm J}_n (\eta)$  erster Art und  $n$–ter Ordnung in tabellarischer Form.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Phasenmodulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  Spektralfunktion eines phasenmodulierten Sinussignals  sowie  Interpretation des Besselspektrums.

Fragebogen

1

Welches Modulationsverfahren liegt hier vor?

	Amplitudenmodulation.
	Phasenmodulation.
	Frequenzmodulation.

2

Welches Modulationsverfahren würden Sie wählen, wenn die Kanalbandbreite nur  $B_{\rm K} = 10 \ \rm kHz$  betragen würde?

	Amplitudenmodulation.
	Phasenmodulation.
	Frequenzmodulation.

3

Wie ist die Modulatorkonstante  $K_{\rm M}$  zu wählen, damit der Phasenhub  $η = 1$  beträgt?

$K_{\rm M} \ = \ $ $\ \rm 1/V$

4

Berechnen Sie das Spektrum  $S_{\rm TP}(f)$  des äquivalenten Tiefpass–Signals  $s_{\rm TP}(t)$.  Wie groß sind die Gewichte der Spektrallinien bei  $f = 0$  und  $f = -3 \ \rm kHz$?

$S_{\rm TP}(f = 0)\ = \ $ $\ \rm V$

$S_{\rm TP}(f = -3\ \rm kHz) \ = \ $ $\ \rm V$

5

Berechnen Sie die Spektren des analytischen Signals  $s_{\rm +}(t)$  sowie des physikalischen Signals  $s(t)$.  Wie groß sind die Gewichte der Spektrallinien bei  $f = 97 \ \rm kHz$?

$S_+(f = 97 \ \rm kHz)\ = \ $ $\ \rm V$

$S(f = 97 \ \rm kHz)\hspace{0.32cm} = \ $ $\ \rm V$

6

Wie groß ist die erforderliche Kanalbandbreite  $B_{\rm K}$  für  $η = 1$, wenn man (betragsmäßige) Impulsgewichte kleiner als  $0.01$  vernachlässigt?

$η = 1\text{:} \ \ \ B_{\rm K}\ = \ $ $\ \rm kHz$

7

Welche Kanalbandbreiten würden sich für  $η = 2$  und  $η = 3$  ergeben?

$η = 2\text{:} \ \ \ B_{\rm K}\ = \ $ $\ \rm kHz$

$η = 3\text{:} \ \ \ B_{\rm K}\ = \ $ $\ \rm kHz$

Musterlösung

Solution

(1)  Die Phase $ϕ(t)$ ist proportional zum Quellensignal $q(t)$   ⇒   es handelt sich um eine Phasenmodulation   ⇒   Antwort 2.

(2)  Eine Winkelmodulation (PM, FM) führt bei bandbegrenztem Kanal stets zu nichtlinearen Verzerrungen.

• Bei Zweiseitenband-Amplitudenmodulation (ZSB-AM) ist hier dagegen bereits mit $B_{\rm K} = 6 \ \rm kHz$ eine verzerrungsfreie Übertragung möglich   ⇒   Antwort 1.

(3)  Der Modulationsindex (oder Phasenhub) ist bei Phasenmodulation gleich $η = K_{\rm M} · A_{\rm N}$.

• Somit ist die Modulatorkonstante $K_{\rm M} = 1/A_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5 \rm \cdot {1}/{V}}$ zu wählen, damit sich $η = 1$ ergibt.

(4)  Es liegt ein sogenanntes Besselspektrum vor:

$$S_{\rm TP}(f) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta (f - n \cdot f_{\rm N})\hspace{0.05cm}.$$

• Dieses ist ein diskretes Spektrum mit Anteilen bei $f = n · f_{\rm N}$, wobei $n$ ganzzahlig ist.
• Die Gewichte der Diracfunktionen sind durch die Besselfunktionen gegeben. Mit $A_{\rm T} = 1\ \rm V$ erhält man:

PM–Spektrum im äquivalenten Tiefpass–Bereich

$$S_{\rm TP}(f = 0) = A_{\rm T} \cdot {\rm J}_0 (\eta = 1) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.765\,{\rm V}},$$

$$S_{\rm TP}(f = f_{\rm N}) = A_{\rm T} \cdot {\rm J}_1 (\eta = 1)\hspace{0.15cm} = 0.440\,{\rm V},$$

$$S_{\rm TP}(f = 2 \cdot f_{\rm N}) = A_{\rm T} \cdot {\rm J}_2 (\eta = 1) = 0.115\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$

• Aufgrund der Symmetrie ${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)$ erhält man für die Spektrallinie bei $f = -3 \ \rm kHz$:

$$S_{\rm TP}(f = -f_{\rm N}) = -S_{\rm TP}(f = +f_{\rm N}) =\hspace{-0.01cm}\underline { -0.440\,{\rm V} \hspace{0.05cm}}.$$

Anmerkung: Eigentlich müsste man für den Spektralwert bei $f = 0$ schreiben:

$$S_{\rm TP}(f = 0) = 0.765\,{\rm V} \cdot \delta (f) \hspace{0.05cm}.$$

Dieser ist somit aufgrund der Diracfunktion unendlich groß, lediglich das Gewicht der Diracfunktion ist endlich. Gleiches gilt für alle diskreten Spektrallinien.

(5)  $S_+(f)$ ergibt sich aus $S_{\rm TP}(f)$ durch Verschiebung um $f_{\rm T}$ nach rechts. Deshalb ist

$$S_{\rm +}(f = 97\,{\rm kHz}) = S_{\rm TP}(f = -3\,{\rm kHz}) \hspace{0.15cm}\underline {=-0.440\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$

• Das tatsächliche Spektrum unterscheidet sich von $S_+(f)$ bei positiven Frequenzen um den Faktor $1/2$:

$$S(f = 97\,{\rm kHz}) = {1}/{2} \cdot S_{\rm +}(f = 97\,{\rm kHz}) \hspace{0.15cm}\underline {=-0.220\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$

• Allgemein kann geschrieben werden:

$$S(f) = \frac{A_{\rm T}}{2} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta (f \pm (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N}))\hspace{0.05cm}.$$

(6)  Unter der vorgeschlagenen Vernachlässigung können alle Bessellinien ${\rm J}_{|n|>3}$ außer Acht gelassen werden.

• Damit erhält man $B_{\rm K} = 2 · 3 · f_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline { = 18 \ \rm kHz}$.

(7)  Die Zahlenwerte in der Tabelle auf der Angabenseite zeigen, dass nun folgende Kanalbandbreiten erforderlich wären:

• für $η = 2$:     $B_{\rm K} \hspace{0.15cm}\underline { = 24 \ \rm kHz}$,
• für $η = 3$:     $B_{\rm K} \hspace{0.15cm}\underline { = 36 \ \rm kHz}$.