Digital Filters

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Programmbeschreibung

The applet should clarify the properties of digital filters, whereby we confine ourselves to filters of the order $M=2$. Both non-recursive filters $\rm (FIR$,  Finite Impulse Response$)$  as well as recursive filters $\rm (IIR$,  Infinite Impulse Response$)$.

The input signal $x(t)$ is represented by the sequence $〈x_ν〉$ of its samples, where $x_ν$ stands for $x(ν · T_{\rm A})$. The output sequence $〈y_ν〉$is calculated, i.e. the discrete-time representation of the output signal $y(t)$.

• $T_{\rm A}$ denotes the time interval between two samples.
• We also limit ourselves to causal signals and systems, which means that $x_ν \equiv 0$ and $y_ν \equiv 0$ for $ν \le 0$.

It should also be noted that we denote the initial sequence $〈y_ν〉$ as

(1) the discrete-time impulse response $〈h_ν〉$ if the “discrete-time Dirac function” is present at the input:         $〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0, \text{...}〉,$

(2) the time-discrete step response $〈\sigma_ν〉$ if the “time-discrete step function” is present at the input:         $〈x_ν〉= 〈1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1, \text{...}〉,$

(3) the discrete-time rectangle response $〈\rho_ν^{(2, 4)}〉$ if the “discrete-time rectangle function” is present at the input:     $〈x_ν〉= 〈0,\ 0,\ 1,\ 1,\ 1,\ 0,\ 0, \text{...}〉;$
        In quotation marks are the beginning of the ones $(2)$ and the position of the last ones $(4)$.

Theoretical background

General block diagram

Each signal $x(t)$ can only be represented on a computer by the sequence $〈x_ν〉$ of its samples, where $x_ν$ stands for $x(ν · T_{\rm A})$. right |frame| Block diagram of a digital (IIR–) filter $M$–order

• The time interval $T_{\rm A}$ between two samples is limited by the sampling theorem.
• We limit ourselves here to causal signals and systems, which means that $x_ν \equiv 0$ for $ν \le 0$.

• In order to determine the influence of a linear filter with frequency response $H(f)$ on the time-discrete input signal $〈x_ν〉$, it is advisable to describe the filter discrete-time. In the time domain, this happens with the discrete-time impulse response $〈h_ν〉$.
• On the right you can see the corresponding block diagram. The following therefore applies to the samples of the output signal $〈y_ν〉$ thus holds:

$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu } \cdot x_{\nu - \mu } + \sum\limits_{\mu = 1}^M {b_\mu } \cdot y_{\nu - \mu } .$$

The following should be noted here:

• The index $\nu$ refers to sequences, for example at the input $〈x_ν〉$ and output $〈y_ν〉$.
• On the other hand, we use the index $\mu$ to identify the $a$ and $b$ filter coefficients.
• The first sum describes the dependency of the current output $y_ν$ on the current input $x_ν$ and on the $M$ previous input values $x_{ν-1}$, ... , $x_{ν-M}$.
• The second sum indicates the influence of $y_ν$ by the previous values $y_{ν-1}$, ... , $y_{ν-M}$ at the filter output. It specifies the recursive part of the filter.
• The integer parameter $M$ is called the order of the digital filter. In the program, this value is limited to $M\le 2$.

$\text{Definitions:}$ 

(1)  The output sequence $〈y_ν〉$ is called the discrete-time impulse response $〈h_ν〉$ if the “discrete-time Dirac function” is present at the input:

$$〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0, \text{...}〉 .$$

(2)  The output sequence $〈y_ν〉$ is called the time-discrete step response $〈\sigma_ν〉$ if the “time-discrete step function” is present at the input:

$$〈x_ν〉= 〈1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1, \text{...}〉 .$$

(3)  The output sequence $〈y_ν〉$ is called the discrete-time rectangle response  $〈\rho_ν^{(2, 4)}〉$ if the “discrete-time rectangular function” is present at the input:

$$〈x_ν〉= 〈0,\ 0,\ 1,\ 1,\ 1,\ 0,\ 0, \text{...}〉 .$$

The beginning of ones $(2)$ and the position of the last ones $(4)$ are given in single quotes.

Non-recursive filter   ⇒   FIR–filter

right |frame| Non-recursive digital filter  $($FIR filter$)$  $M$ order $\text{Definition:}$ If all feedback coefficients $b_{\mu} = 0$ , one speaks of one non-recursive filter. In the English language literature, the term FIR filter (Finite Impulse Response) is also used for this.

The following applies to the order $M$ applies:

• The output value $y_ν$ depends only on the current and the previous $M$ input values:

$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot x_{\mu - \nu } } .$$

• Time-discrete impulse response with $〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0, \text{...}〉$:

$$〈h_\mu〉= 〈a_0,\ a_1,\ \text{...},\ a_M〉 .$$

$\text{Example 1:}$  A two-way channel where

• the signal on the main path arrives undamped compared to the input signal but is delayed by $2\ \rm µ s$ arrives with a delay, and
• at $4\ \rm µ s$ distance – so absolutely at time $t = 6\ \rm µ s$ – follows an echo with half the amplitude,

can be simulated by a non-recursive filter according to the sketch above, whereby the following parameter values ​​must be set:

$$M = 3,\quad T_{\rm A} = 2\;{\rm{µ s} },\quad a_{\rm 0} = 0,\quad a_{\rm 1} = 1, \quad a_{\rm 2} = 0, \quad a_{\rm 3} = 0.5.$$

$\text{Example 2:} Consider a non-recursive filter with the filter coefficients$a_0 = 1,\hspace{0.5cm} a_1 = 2,\hspace{0.5cm} a_2 = 1.$[[Datei:P_ID608__Sto_Z_5_3.png|right|frame|Nichtrekursives Filter]] '''(1)''' The conventional impulse response is:$h(t) = \delta (t) + 2 \cdot \delta ( {t - T_{\rm A} } ) + \delta ( {t - 2T_{\rm A} } ).$<br>        ⇒   discrete-time impulse response:$〈h_\mu〉= 〈1,\ 2,\ 1〉 .$'''(2)'''   The frequency response$H(f)$is the Fourier transform of$h(t)$. By applying the displacement theorem: :'"`UNIQ-MathJax9-QINU`"' '''(3)'''   It follows that the '''time-discrete step response'''$〈\sigma_ν〉$tends to become$4$for large$\nu$. '''(4)'''   The discrete-time convolution of the input sequence$\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;0,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle$with$\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, \ 2,\ 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$results :'"`UNIQ-MathJax10-QINU`"' '''(5)'''   The discrete-time convolution of the input sequence$\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;1,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle$with$\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, \ 2,\ 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$results :'"`UNIQ-MathJax11-QINU`"' <div style="clear:both;"> </div> </div> ==='"`UNIQ--h-4--QINU`"'Recursive filter   ⇒   IIR filter === <div class="bluebox"> [[Datei:P_ID607__Sto_A_5_3.png|right|frame|First order recursive filter]]$\text{Definition:}$*If at least one of the feedback coefficients is$b_{\mu} \ne 0$, then this is referred to as a '''recursive filter''' (see graphic on the right). The term '''IIR filter'''  (''Infinite Impulse Response'') is also used for this, particularly in the English-language literature. This filter is dealt with in detail in the trial implementation. *If all forward coefficients are also identical$a_\mu = 0$with the exception of$a_0$, a '''purely recursive filter''' is available (see graphic on the left). [[Datei:P_ID554__Sto_T_5_2_S3_neu.png|left|frame| Purely recursive first order filter]] <div style="clear:both;"> </div> </div> Im Folgenden beschränken wir uns auf den Sonderfall  „Rein rekursives Filter erster Ordnung”.  Dieses Filter weist folgende Eigenschaften auf: *Der Ausgangswert$y_ν$hängt (indirekt) von unendlich vielen Eingangswerten ab: :'"`UNIQ-MathJax12-QINU`"' *Dies zeigt die folgende Rechung: :'"`UNIQ-MathJax13-QINU`"' *Die zeitdiskrete Impulsantwort ist definitionsgemäß gleich der Ausgangsfolge, wenn am Eingang eine einzelne „Eins” bei$t =0$anliegt. :'"`UNIQ-MathJax14-QINU`"' <div class="bluebox">$\text{Fazit:}$Bei einem rekursiven Filter reicht die (zeitdiskrete) Impulsantwort schon mit$M = 1$bis ins Unendliche: *Aus Stabilitätsgründen muss$b_1 < 1$gelten. *Bei$b_1 = 1$würde sich die Impulsantwort$h(t)$bis ins Unendliche erstrecken und bei$b_1 > 1$würde$h(t)$sogar bis ins Unendliche anklingen. *Bei einem solchen rekursiven Filter erster Ordnung ist jede einzelne Diraclinie genau um den Faktor$b_1$kleiner als die vorherige Diraclinie: :'"`UNIQ-MathJax15-QINU`"' <div style="clear:both;"> </div> </div> <div class="greybox"> [[Datei:Sto_T_5_2_S3_version2.png |frame| Zeitdiskrete Impulsantwort | rechts]]$\text{Beispiel 3:}$Die nebenstehende Grafik zeigt die zeitdiskrete Impulsantwort$〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉$eines rekursiven Filters erster Ordnung mit den Parametern$a_0 = 1$und$b_1 = 0.6$. *Der (zeitdiskrete) Verlauf ist exponentiell abfallend und erstreckt sich bis ins Unendliche. *Das Verhältnis der Gewichte zweier aufeinanderfolgender Diracs ist jeweils$b_1 = 0.6$. <div style="clear:both;"> </div> </div> ==='"`UNIQ--h-5--QINU`"'Rekursives Filter als Sinus–Generator=== [[Datei:P_ID622__Sto_A_5_4.png|right|frame|Vorgeschlagene Filterstruktur '''ändern auf'''$T_{\rm A}$]] Die Grafik zeigt ein digitales Filter zweiter Ordnung, das zur Erzeugung einer zeitdiskreten Sinusfunktion auf einem digitalen Signalprozessor (DSP) geeignet ist, wenn die Eingangsfolge$\left\langle \hspace{0.05cm} {x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$eine (zeitdiskrete) Diracfunktion ist: :'"`UNIQ-MathJax16-QINU`"' Die fünf Filterkoeffizienten ergeben sich aus der  [https://de.wikipedia.org/wiki/Z-Transformation$Z$-Transformation]: :'"`UNIQ-MathJax17-QINU`"' Nach Umsetzung dieser Gleichung durch ein rekursives Filter zweiter Ordnung erhält man folgende Filterkoeffizienten: :'"`UNIQ-MathJax18-QINU`"' *Auf die Filterkoeffizienten$a_0$und$a_2$kann verzichtet werden und$b_2=-1$hat einen festen Wert.  *Die Kreisfrequenz$\omega_0$der Sinusschwingung wird also nur durch$a_0$und$a_0$festelegt. <div class="greybox">$\text{Beispiel 3:}$Es gelte$a_1 = 0.5$,$b_1 = \sqrt 3$,$x_0 = 1$und$x_{\nu \hspace{0.05cm}\ne\hspace{0.05cm} 0} = 0$. '''(1)'''  Dann gilt für die Ausgangswerte$y_\nu$zu den Zeitpunkten$\nu \ge 0$:<br> :*$y_0 = 0;$:*$y_1 = 0.5$⇒  die „$1$” am Eingang wirkt sich wegen$a_0= 0$am Ausgang erst zum Zeitpunkt$\nu = 1$aus; :*$y_2 = b_1 \cdot y_1 - y_0 = {\sqrt 3 }/{2} \approx 0.866$⇒   bei$\nu = 2$wird auch der rekursive Teil des Filters wirksam; :*$y_3 = \sqrt 3 \cdot y_2 - y_1 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - {1}/{2} = 1$⇒  für$\nu \ge 2$ist das Filter rein rekursiv:$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} - y_{\nu - 2}$; :*$y_4 = \sqrt 3 \cdot y_3 - y_2 = \sqrt 3 \cdot 1 - {\sqrt 3 }/{2} = {\sqrt 3 }/{2};$:*$y_5 = \sqrt 3 \cdot y_4 - y_3 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - 1 = 0.5;$:*$y_6 = \sqrt 3 \cdot y_5 - y_4 = \sqrt 3 \cdot {1}/{2} - {\sqrt 3 }/{2} = 0;$:*$y_7 = \sqrt 3 \cdot y_6 - y_5 = \sqrt 3 \cdot 0 - {1}/{2} = - 0.5.$'''(2)'''  Durch Fortsetzung des rekursiven Algorithmuses erhält man für große$\nu$–Werte:$y_\nu = y_{\nu - 12} $⇒$T_0/T_{\rm A}= 12.$<div style="clear:both;"> </div> </div> =='"`UNIQ--h-6--QINU`"'Versuchsdurchführung== [[Datei:Exercises_binomial_fertig.png|right]] *Wählen Sie zunächst die Nummer  '''1'''  ...  '''10'''  der zu bearbeitenden Aufgabe. *Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst. *Lösung nach Drücken von „Musterlösung”. *Die Nummer  '''0'''  entspricht einem „Reset”:  Gleiche Einstellung wie beim Programmstart. <br clear="all"> <div class="bluebox"> '''(1)'''  Die Filterkoeffizienten seien$a_0=0.25$,$a_1=0.5$,$a_2=0.25$,$b_1=b_2=0$.  Um welches Filter handelt es sich?  <br>        Interpretieren Sie die Impulsantwort$〈h_ν〉$,  die Sprungantwort$〈\sigma_ν〉$und  die Rechteckantwort$〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$jeweils in zeitdiskreter Darstellung. <div style="clear:both;"> </div> </div> :*  Aufgrund der fehlenden$b$–Koeffizienten handelt es sich um ein nichtrekursives digitales Filter   ⇒   '''FIR–Filter'''  (''Finite Impulse Response''). :*  Die Impulsantwort setzt sich aus$M+1=3$Diraclinien gemäß den$a$–Koeffizienten zusammen:$〈h_ν〉= 〈a_0, \ a_1,\ a_2〉= 〈0.25, \ 0.5,\ 0.25,\ 0, \ 0, \ 0,\text{...}〉 $. :*  Die Sprungantwort lautet:$〈\sigma_ν〉= 〈0.25, \ 0.75,\ 1,\ 1, \ 1, \ 1,\text{...}〉 $.  Der Endwert ist gleich dem Gleichsignalübertragungsfaktor$H(f=0)=a_0+a_1+a_2 = 1$. :*  Die Verzerrungen bei Anstieg und Abfall erkennt man auch aus der Rechteckantwort$〈\rho_ν^{(2, 8)}〉= 〈0,\ 0, 0.25, \ 0.75,\ 1,\ 1, \ 1, \ 1, \ 1, \ 0.75, \ 0.25, \ \text{...}〉$. <div class="bluebox"> '''(2)'''  Wie unterscheiden sich die Ergebnisse mit$a_2=-0.25$? <div style="clear:both;"> </div> </div> :*  Unter Berücksichtigung von$H(f=0)= 0.5$ergeben sich vergleichbare Folgen   ⇒   Sprungantwort:$〈\sigma_ν〉= 〈0.25, \ 0.75,\ 0.5,\ 0.5, \ 0.5, \ 0.5,\text{...}〉 $. <div class="bluebox"> '''(3)'''  Nun seien die Filterkoeffizienten$a_0=1$,$b_1=0.9$sowie$a_1=a_2= b_2=0$.  Um welches Filter handelt es sich?  Interpretieren Sie die Impulsantwort$〈h_ν〉$. <div style="clear:both;"> </div> </div> :*  Es handelt sich um ein rekursives digitales Filter   ⇒   '''IIR–Filter'''  (''Infinite Impulse Response'')  erster Ordnung.  Es ist das zeitdiskrete Analogon zum RC–Tiefpass. :*  Ausgehend von$h_0= 1$gilt$h_1= h_0 \cdot b_0= 0.9$,$h_2= h_1 \cdot b_0= b_0^2=0.81$,$h_3= h_2 \cdot b_0= b_0^3=0.729$,  usw.   ⇒$〈h_ν〉$reicht bis ins Unendliche. :*  Impulsantwort$h(t) = {\rm e}^{-t/T}$mit$T$:  Schnittpunkt$($Tangente bei$t=0$, Abszisse$)$⇒$h_\nu= h(\nu \cdot T_{\rm A}) = {\rm e}^{-\nu/(T/T_{\rm A})}$mit$T/T_{\rm A} = 1/(h_0-h_1)= 10$. :*  Also:  Die Werte der zeitkontinuierlichen unterscheiden sich von der zeitdiskreten Impulsantwort.  Hierfür ergeben sich die Werte$1.0, \ 0.9048,\ 0.8187$... <div class="bluebox"> '''(4)'''  Die Filtereinstellung wird beibehalten.  Interpretieren Sie die Sprungantwort$〈h_ν〉$und  die Rechteckantwort$〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$.  Welcher Wert ergibt sich für$H(f=0)$? <div style="clear:both;"> </div> </div> :*  Die Sprungantwort ist das Integral über die Impulsantwort:$\sigma(t) = T \cdot (1-{\rm e}^{-t/T}) ]$⇒$\sigma_\nu= 10 \cdot (1-{\rm e}^{-\nu/10})$⇒$\sigma_0=1$,$\sigma_1=1.9$,$\sigma_2=2.71$, ... :*  Für große$\nu$–Werte tendiert die (zeitdiskrete) Sprungantwort gegen den Gleichsignalübertragungsfaktor$H(f=0)= 10$:$\sigma_{40}=9.867$,$\sigma_{50}=9.954$,$\sigma_\infty=10$. :* Die Rechteckantwort$〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$steigt mit einer Verzögerung von$2$in gleicher Weise an wie$〈\sigma_ν〉$.  Im Bereich$\nu \ge 8$fallen die$\rho_ν$– Werte exponentiell ab. <div class="bluebox"> '''(5)'''  Wir betrachten weiterhin das Filter mit$a_0=1$,$b_1=0.9$,$a_1=a_2= b_2=0$.  Wie lautet die Ausgangsfolge$〈y_ν〉$für die Eingangsfolge$〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ -0.5〉$? <br>        ''Hinweis'':  Die Aufgabe lässt sich ebenfalls mit diesem Programm lösen, obwohl die hier betrachtete Konstellation nicht direkt einstellbar ist. <div style="clear:both;"> </div> </div> :*  Man behilft sich, indem man den Koeffizienten$a_2=-0.5$setzt und dafür die Eingangsfolge auf$〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ \text{ ...}〉$⇒   „Diracfunktion” reduziert. :*  Die tatsächliche Impulsantwort dieses Filters$($mit$a_2=0)$wurde in Aufgabe  '''(3)'''  ermittelt:$h_0= 1$,$h_1= 0.9$,$h_2= 0.81$,$h_3= 0.729$,$h_4= 0.646$.   :*  Die Lösung dieser Aufgabe lautet somit:$y_0 = h_0= 1$,$y_1= h_1= 0.9$,$y_2 =h_2-h_0/2= 0.31$,$y_3 =h_3-h_1/2= 0.279$,$y_4 =h_4-h_2/2= 0.251$.   :*  Vorsicht:  Sprungantwort und Rechteckantwort beziehen sich nun auf das fiktive Filter$($mit$a_2=-0.5)$und nicht auf das eigentliche Filter$($mit$a_2=0)$. <div class="bluebox"> '''(6)'''  Betrachten und interpretieren Sie die Impulsanwort und die Sprungantwort für die Filterkoeffizienten$a_0=1$,$b_1=1$,$a_1=a_2= b_2=0$.  <div style="clear:both;"> </div> </div> :*  '''Das System ist instabil''':   Eine zeitdiskrete Diracfunktion am Eingang$($zur Zeit$t=0)$bewirkt im Ausgangsignal unendlich viele Diracs gleicher Höhe. :*  Eine zeitdiskrete Sprungfunktion am Eingang bewirkt im Ausgangsignal unendlich viele Diracs mit monoton ansteigenden Gewichten (bis ins Unendliche). <div class="bluebox"> '''(7)'''  Betrachten und interpretieren Sie Impulsanwort und Sprungantwort für die Filterkoeffizienten$a_0=1$,$b_1=-1$,$a_1=a_2= b_2=0$.  <div style="clear:both;"> </div> </div> :*  Im Gegensatz zur Aufgabe  '''(6)'''  sind hier die Gewichte der Impulsantwort$〈h_ν〉$nicht konstant gleich$1$, sondern alternierend$\pm 1$.  Das System ist ebenfalls instabil. :*  Bei der Sprunganwort$〈\sigma_ν〉$wechseln sich dagegen die Gewichte alternierend zwischen$0($bei geradem$\nu)$und$1($bei ungeradem$\nu)$ab. <div class="bluebox"> '''(8)'''  Wir betrachten den  „Sinusgenerator”:$a_1=0.5$,$b_1=\sqrt{3}= 1.732$,$b_2=-1.$Vergleichen Sie die Impulsantwort mit den berechneten Werten in$\text{Beispiel 4}$. <br>        Wie beinflussen die Parameter$a_1$und$b_1$die Periodendauer$T_0/T_{\rm A}$und die Amplitude$A$der Sinusfunktion? <div style="clear:both;"> </div> </div> :*$〈x_ν〉=〈1, 0, 0, \text{...}〉$⇒$〈y_ν〉=〈0, 0.5, 0.866, 1, 0.866, 0.5, 0, -0.5, -0.866, -1, -0.866, -0.5, 0, \text{...}〉$⇒   '''Sinus''',  Periode$T_0/T_{\rm A}= 12$,  Amplitude$1$. :*  Die Vergrößerung/Verkleinerung von$b_1$führt zur größeren/kleineren Periodendauer$T_0/T_{\rm A}$und zur größeren/kleineren Amplitude$A$.  Es muss$b_1 < 2$gelten. :*$a_1$beinflusst nur die Amplitude, nicht die Periodendauer.  Für$a_1$gibt es keine Wertebegrenzumg.  Bei negativem$a_1$ergibt sich die Minus–Sinusfunktion. :*  '''Gibt es hier keine Diskrepanz zu h(t) wertkontinuierlich ???''' <div class="bluebox"> '''(9)'''  Die Grundeinstellung bleibt erhalten.  Mit welchen$a_1$und$b_1$ergibt sich eine Sinusfunktion mit Periodendauer$T_0/T_{\rm A}=16$und Amplitude$A=1$? <div style="clear:both;"> </div> </div> :*  Durch Probieren erreicht man mit$b_1= 1.8478$tatsächlich die Periodendauer$T_0/T_{\rm A}=16.$Allerdings erhöht sich dadurch die Amplitude auf$A=1.307$. :*  Die Anpassung des Parameters$a_1= 0.5/1.307=0.3826$führt dann zur gewünschten Amplitude$A=1$. :*  Oder man kann das auch wie im Beispiel berechnen:$b_1 = 2 \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}\cdot{T_{\rm A}}/{T_0 }})= 2 \cdot \cos (\pi/8)=1.8478$,$a_1 = \sin (\pi/8)=0.3827$. <div class="bluebox"> '''(10)'''  Wir gehen weiter vom „Sinusgenerator” aus.  Welche Modifikationen muss man vornehmen, um damit einen „Cosinus” zu generieren? <div style="clear:both;"> </div> </div> :*  Mit$a_1=0.5$,$b_1=\sqrt{3}= 1.732$,$b_2=-1$sowie$〈x_ν〉=〈1, 1, 1, \text{...}〉$ist die Ausgangsfolge$〈y_ν〉$das zeitdiskrete Analogon der Sprungantwort$\sigma(t)$.

•   Es fehlen noch einige Statements

Zur Handhabung des Applets

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2005 von Bettina Hirner im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
• 2020 wurde das Programm von Andre Schulz (Bachelorarbeit LB, Betreuer: Benedikt Leible und Tasnád Kernetzky ) unter „HTML5” neu gestaltet.

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