Exercise 3.7: Synchronous Demodulator
Zur Rücksetzung eines amplitudenmodulierten Signals in den ursprünglichen Frequenzbereich verwendet man oft einen Synchrondemodulator:
- Dieser multipliziert das AM-Eingangssignal $r(t)$ mit einem empfangsseitigen Trägersignal $z_{\rm E}(t)$, das sowohl hinsichtlich Frequenz $f_{\rm T}$ als auch Phase $\varphi_{\rm T}$ mit dem sendeseitigen Trägersignal $z_{\rm S}(t)$ übereinstimmen sollte.
- Es folgt ein rechteckförmiger Tiefpass zur Eliminierung aller spektralen Anteile oberhalb der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$. Das Ausgangssignal des Synchrondemodulators nennen wir $v(t)$.
Das oben skizzierte Spektrum $R(f)$ des Empfangssignals $r(t)$ ist durch Zweiseitenband–Amplitudenmodulation eines sinusförmigen Quellensignals $q(t)$ mit der Frequenz $5\,\text{kHz}$ und der Amplitude $8\,\text{V}$ entstanden. Als sendeseitiges Trägersignal $z_{\rm S}(t)$ wurde ein Cosinussignal mit der Frequenz $30\,\text{kHz}$ verwendet.
Das Spektrum des empfangsseitigen Trägersignals $z_{\rm E}(t)$ besteht entsprechend der unteren Skizze aus zwei Diraclinien, jeweils mit dem Gewicht $A/2$. Da $z_{\rm E}(t)$ keine Einheit beinhalten soll, sind auch die Gewichte der Diracfunktionen dimensionslos.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Faltungssatz und Faltungsoperation.
- Wichtige Informationen finden Sie vor allem auf der Seite Faltung einer Funktion mit einer Diracfunktion.
Fragebogen
Musterlösung
- Die Faltung des Spektrums $R(f)$ mit der rechten Diraclinie bei $+30 \text{ kHz}$ führt zu diskreten Spektrallinien bei $-\hspace{-0.08cm}5\, \text{kHz}$, $+5 \,\text{kHz}$, $+55 \,\text{kHz}$ und $+65 \,\text{kHz}$. Diese sind alle imaginär und gegenüber den Impulsgewichten von $R(f)$ um den Faktor $A/2 = 0.5$ kleiner.
- Die Faltung von $R(f)$ mit dem Dirac bei $-\hspace{-0.08cm}30 \,\text{kHz}$ ergibt Linien bei $-\hspace{-0.08cm}65 \,\text{kHz}$, $-55 \,\text{kHz}$, $-5 \,\text{kHz}$ und $+5 \,\text{kHz}$.
Durch Überlagerung der beiden Zwischenresultate und Berücksichtigung des Tiefpassfilters, der die Linien bei $\pm 55 \text{ kHz}$ und $\pm 65 \text{ kHz}$ unterdrückt, folgt somit für das Spektrum des Sinkensignals:
- $$V( f) = - {\rm{j}} \cdot 2\;{\rm{V}} \cdot \delta ( {f - f_{\rm N} }) + {\rm{j}} \cdot 2\;{\rm{V}} \cdot \delta ( {f + f_{\rm N} } )\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}f_{\rm N} = 5\;{\rm kHz}.$$
- Das Sinkensignal $v(t)$ ist also ein $5 \text{ kHz}$–Sinussignal mit der Amplitude $4 \text{ V}$.
- Der Zeitpunkt $t = 50\, µ\text{s}$ entspricht einem Viertel der Periodendauer $T_0 = 1/f_{\rm N} = 200\, µ\text{s}$.
- Somit ist hier das Sinkensignal maximal, also $\underline{4 \text{ V}}$.
(2) Mit $A = 1$ ist $v(t)$ nur halb so groß wie $q(t)$ ⇒ Mit $\underline{A = 2}$ wären beide Signale gleich.
(3) Die Diraclinien bei $\pm f_{\rm T}$ haben jeweils das Gewicht $1$. Alle nachfolgend genannten Spektrallinien sind imaginär und betragsmäßig gleich $2 \text{ V}$.
- Die Faltung von $R(f)$ mit der rechten Diraclinie von $z_{\rm E}(t)$ liefert Anteile bei $-\hspace{-0.08cm}4\, \text{kHz (p: positiv)}$, $+6 \,\text{kHz (n: negativ)}$, $+56 \,\text{kHz (p)}$ und $+66 \,\text{kHz (n)}$.
- Dagegen führt die Faltung mit der linken Diracfunktion zu Spektrallinien bei $-\hspace{-0.08cm}66 \,\text{kHz (p)}$, $-\hspace{-0.08cm}56 \,\text{kHz (n)}$, $-\hspace{-0.08cm}6 \,\text{kHz (p)}$ und $+4 \,\text{kHz (n)}$, alle ebenfalls mit den (betragsmäßigen) Impulsgewichten $2 \text{ V}$.
- Unter Berücksichtigung des Tiefpasses verbleiben nur die vier Spektrallinien bei $\pm 4 \,\text{kHz}$ und $\pm 6 \,\text{kHz}$.
- Das dazugehörige Zeitsignal lautet somit mit $f_4 = 4 \,\text{kHz}$ und $f_6 = 6 \,\text{kHz}$:
- $$v( t ) = 4\;{\rm{V}} \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_4 t} ) + 4\;{\rm{V}} \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_6 t} ) \ne q( t ) = 8\;{\rm{V}} \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_5 t} ).$$
- Zum Zeitpunkt $t = 50\, µ\text{s}$ erhält man:
- $$v( t = 50\, µ\text{s}) = 4\;{\rm{V}} \cdot \big[ {\sin \big ( {0.4{\rm{\pi }}} ) + \sin ( {0.6{\rm{\pi }}} )} \big]\hspace{0.15 cm}\underline{ = 7.608\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
