Exercise 3.1Z: Hilbert Transform

Betrachtete Impulsantworten

Der Zusammenhang zwischen dem Real– und dem Imginärteil der Übertragungsfunktion realisierbarer kausaler Systeme wird durch die Hilbert–Transformation beschrieben. Hierbei gilt:

$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} = - \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{ +\infty} { \frac{{\rm Re} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm},$$

$${\rm Re} \left\{ H(f) \right \} = \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{ +\infty} { \frac{{\rm Im} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$

Als gemeinsames Kurzzeichen verwendet man für diese beiden Integraltransformationen:

$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad {\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$

Da sich die Hin– und die Rücktransformation lediglich durch das Vorzeichen unterscheiden, genügt eine Gleichung. Dabei gilt:

Zur Berechnung des durch den Pfeil markierten Operanden wird das positive Vorzeichen verwendet.

Dagegen ist zur Berechnung des durch den Kreis markierten Operanden das Minuszeichen zu berücksichtigen.

Die Hilbert–Transformation gilt viel allgemeiner als nur für den hier beschriebenen Anwendungsfall. Zum Beispiel wird sie auch verwendet, um zu einem reellen Bandpass–Signal das dazugehörige (komplexe) analytische Signal zu ermitteln.

Bei dieser Aufgabe soll zu den in der Grafik gegebenen kausalen Impulsantworten $h(t)$ die zugehörigen Frequenzgänge $H(f)$ entsprechend der Fourierrücktransformation ermittelt werden.

Zerlegt man $H(f)$ jeweils in Real– und Imaginärteil, so können daraus Hilbert–Korrespondenzen abgeleitet werden.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Folgerungen aus dem Zuordnungssatz.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Therieseite Hilbert-Transformation.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag:

Die Fourier–Transformierte von $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$ lautet:

$$H_1(f) = \alpha \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re} \left\{ H_1(f) \right \} = \alpha , \hspace{0.2cm}{\rm Im} \left\{ H_1(f) \right \} = 0\hspace{0.05cm}.$$

(2) Richtig ist der letzte Lösungsvorschlag:

Mit dem Verschiebungssatz und dem Satz von Euler erhält man für die Impulsantwort $h_2(t)$ den Frequenzgang:

$$H_2(f) ={\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f \tau} = \cos (2\pi f \tau) - {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi f \tau)\hspace{0.05cm}.$$

Daraus ergibt sich die Hilbert–Korrespondenz

$$\cos (2\pi f \tau) \hspace{0.3cm} \leftarrow\hspace{-0.05cm}\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.3cm} -\sin (2\pi f \tau)\hspace{0.7cm}{\rm oder}\hspace{0.7cm} \cos (2\pi f \tau) \hspace{0.3cm} \bullet\hspace{-0.05cm}\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!-\!\hspace{-0.1cm}\rightarrow\hspace{0.3cm} \sin (2\pi f \tau) \hspace{0.05cm}.$$

(3) Richtig sind beide Lösungsvorschläge:

Für die rechteckförmige Impulsantwort $h_3(t)$ mit Breite $T$ und Höhe $1/T$ erhält man die Spektralfunktion gemäß dem ersten Fourierintegral:

$$H_3(f) = \int_{-\infty}^{ +\infty} { h_3(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm} = \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{ T} { {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \left [\frac{1}{-{\rm j}\cdot 2\pi f T} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f\hspace{0.05cm} t} \right ]_{0}^{T} = \frac{1-{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f\hspace{0.05cm} T}}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} \hspace{0.05cm}.$$

Mit dem Eulerschen Satz kann hierfür auch geschrieben werden:

$$H_3(f) = \frac{1-\cos (2\pi f T) + {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi f T)}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} = \frac{\sin (2\pi f T)}{ 2\pi f T} - {\rm j}\cdot \frac{1 - \cos (2\pi f T)}{ 2\pi f T}\hspace{0.05cm}.$$

Weiter gilt mit der Umformung $1 - \cos(\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha/2)$:

$${\rm Re}\hspace{-0.05cm} \left\{ H_3(f) \right \} = {\rm si} (2\pi f T)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} {\rm Im} \hspace{-0.05cm}\left\{ H_3(f) \right \} = -\frac{\sin^2 (\pi f T)}{ \pi f T}= - {\rm si} (\pi f T) \cdot {\rm sin} (\pi f T) \hspace{0.05cm}.$$

(4) Richtig ist Nein:

Die Impulsantwort $h_4(t)$ ist nicht kausal, so dass aus dem dazugehörigen Fourier–Spektrum $H_4(f)$ keine Hilbert–Korrespondenz abgeleitet werden kann.

	Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten $\alpha$ ist ebenfalls $\alpha$.
	Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten $\alpha$ ist Null.
	Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten $\alpha$ verläuft sinusförmig.

	Die Hilbert–Transformierte von einem Cosinus ist eine Konstante.
	Die Hilbert–Transformierte einer Cosinusfunktion ist Null.
	Die Hilbert–Transformierte von einem Cosinus verläuft sinusförmig.

	Die Hilbert Transformierte lautet ${\rm sin}^2\hspace{-0.05cm}(\pi fT)/(\pi fT)$.
	Die Hilbert Transformierte lautet ${\rm sin}( \pi fT) \cdot {\rm si}( \pi fT)$.

	Ja.
	Nein.