Exercise 1.4Z: Representation of Oscillations
From LNTwww
Zwei Darstellungen einer harmonischen Schwingung
Betrachtet wird eine harmonische Schwingung $z(t)$, die zusammen mit dem zugehörigen analytischen Signal $z_+(t)$ in der Grafik dargestellt ist. Diese Signale können mathematisch wie folgt beschrieben werden:
- $$z(t) = A_{\rm T} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})= A_{\rm T} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T}( t - \tau)) \hspace{0.05cm},$$
- $$ z_+(t) = A_{\rm 0} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}$$
Die zwei Amplitudenparameter $A_{\rm T} $ und $A_0$ sind jeweils dimensionslos, der Phasenwert $ϕ_{\rm T} $ soll zwischen $\text{±π}$ liegen und die Laufzeit $τ$ ist nicht negativ.
Die Teilaufgabe (4) bezieht sich auf das äquivalente Tiefpass–Signal $z_{\rm TP}(t)$, das mit $z_+(t)$ wie folgt zusammenhängt:
- $$z_{\rm TP}(t) = z_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$
Beachten Sie weiter, dass $ϕ_{\rm T}$ in obiger Gleichung mit positivem Vorzeichen erscheint. Unter „Anmerkungen zur Nomenklatur” finden Sie unten eine Begründung für die unterschiedliche Verwendung von $φ_{\rm T}$ und $ϕ_{\rm T} = – φ_{\rm T}$.
Anmerkung zur Nomenklatur:
- In diesem Tutorial geht – wie auch in anderer Literatur üblich – bei der Beschreibung von harmonischer Schwingung, Fourierreihe und Fourierintegral die Phase mit negativem Vorzeichen in die Gleichungen ein, während in Zusammenhang mit Modulationsverfahren die Phase stets mit einem Pluszeichen angesetzt wird.
- Zur Unterscheidung dieser beiden Varianten benutzen wir $\phi_{\rm T}$ und $\varphi_{\rm T} = - \phi_{\rm T}$. Beide Symbole kennzeichnen das kleine griechische „phi”, wobei die Schreibweise $\phi$ vorwiegend im anglo-amerikanischen und $\varphi$ im deutschen Sprachraum angewandt wird.
- Die Phasenwerte $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ und $\phi_{\rm T} = -90^\circ$ sind somit äquivalent und stehen beide für die Sinusfunktion:
- $$\cos(2 \pi f_0 t - 90^{\circ}) = \cos(2 \pi f_0 t - \varphi_{\rm T}) = \cos(2 \pi f_0 t + \phi_{\rm T}) = \sin(2 \pi f_0 t ).$$
Weitere Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Allgemeines Modell der Modulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Beschreibung des physikalischen Signals mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals.
- Weitere Informationen zu dieser Thematik finden Sie in den Kapiteln des Buches „Signaldarstellung”:
- In unserem Tutorial $\rm LNTwww$ wird die Darstellung des analytischen Signals $s_+(t)$ in der komplexen Ebene teilweise auch als „Zeigerdiagramm” bezeichnet, während die „Ortskurve” den zeitlichen Verlauf des äquivalenten TP–Signals $s_{\rm TP}(t)$ angibt. Wir verweisen auf die entsprechenden interaktiven Applets
Fragebogen
Musterlösung
(1) Aus der grafischen Darstellung der Zeitfunktion $z(t)$ erkennt man
- die (normierte) Amplitude $A_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2}$ und die Periodendauer $T_0=2$ Millisekunden.
- Deshalb ist die Signalfrequenz $f_{\rm T} = 1/T_0\hspace{0.15cm}\underline{ = 500}$ Hz und die Kreisfrequenz beträgt $ω_{\rm T}= 2πf_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline{ = 3141.5}$ 1/s.
(2) Das analytische Signal lautet allgemein:
- $$z_+(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}(\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t + \phi_{\rm T})} = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_{\rm T}} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t }\hspace{0.05cm}.$$
- Gleichzeitig gilt der Zusammenhang:
- $$A_0 = z_+(t = 0) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_{\rm T}} \hspace{0.05cm}.$$
- Die komplexe Amplitude $A_0$ kann aus der oberen Grafik abgelesen werden.
- $$A_0 = - \sqrt{2} - {\rm j} \cdot \sqrt{2} = A_{\rm 0} \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 0.75 \pi} \hspace{0.05cm}.$$
- Ein Vergleich beider Gleichungen führt zum Ergebnis:
- $$ \phi_{\rm T} = - 0.75 \pi \hspace{0.15cm}\underline {= - 135^{\circ}} \hspace{0.05cm}.$$
- Dabei besteht folgender Zusammenhang mit der Laufzeit $τ$:
- $$\phi_{\rm T} = - 2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot \tau \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \tau = \frac{-\phi_{\rm T}}{2 \pi \cdot f_{\rm T}} = \frac{0.75 \pi}{2 \pi \cdot 0.5\,{\rm kHz}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75 \,{\rm ms}} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Das analytische Signal legt in der Zeit $T_0$ genau eine Umdrehung zurück.
- Ausgehend von $A_0$ erreicht man somit nach $t_1 = T_0/8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.25}$ ms zum ersten Mal, dass das analytische Signal imaginär ist:
- $$z_+(t_1) = - 2 {\rm j}.$$
- Wegen der Beziehung $z(t) = {\rm Re}[z_+(t)]$ tritt zu diesem Zeitpunkt $t_1$ auch der erste Nulldurchgang des Signals $z(t)$ auf.
(4) Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) erhält man:
- $$ z_{\rm TP}(t) = z_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} = A_0 = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi_{\rm T}} = {\rm const.}$$
- Somit gilt für alle Zeiten $t$ und damit auch für $t = 1$ ms:
- $${\rm Re}[z_{\rm TP}(t)] = - \sqrt{2} \hspace{0.15cm}\underline {= -1.414} \hspace{0.05cm},$$
- $$ {\rm Im}[z_{\rm TP}(t)] = - \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline {= -1.414} \hspace{0.05cm}.$$
(5) Richtig sind die Aussagen 1, 3 und 4:
- Die einzige Diracfunktion von $Z_+(f)$ liegt bei $f = f_{\rm T}$ und nicht bei $–f_{\rm T}$.
- Das analytische Signal einer harmonischen Schwingung ist immer komplex.
- Das äquivalente TP–Signal einer harmonischen Schwingung ist meistens komplex. Ausnahme:
- $$z(t) = ±A_{\rm T} · \cos(ω_{\rm T} · t) \ \Rightarrow \ z_{\rm TP}(t) = ±A_{\rm T}.$$
