Exercise 5.2: Determination of the Frequency Response

Zur Bestimmung des Frequenzgangs $H(f)$

Wir betrachten die abgebildete Messanordnung zur Bestimmung des blau hervorgehobenen Frequenzgangs $H(f)$.

Das Eingangssignal $x(t)$ ist weißes Gaußsches Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0 = 10^{-10} \hspace{0.05cm} \rm W/Hz$.
Somit gilt für die Autokorrelationsfunktion (AKF):

$$\varphi _x ( \tau ) = {N_0 }/{2} \cdot \delta ( \tau ).$$

Die gemessene Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) zwischen den Signalen $x(t)$ und $y(t)$ kann wie folgt angenähert werden
$($nur gültig für positive Zeiten $t)$:

$$\varphi _{xy} \left( \tau \right) = K \cdot {\rm{e}}^{ - \tau /T_0 },\hspace{0.5cm}\text{mit } \ K = 0.628 \cdot 10^{-12} \hspace{0.05cm} {\rm W}, \ T_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms.$$

Gemessen wird außerdem die AKF $\varphi_y(\tau)$ des Ausgangssignals $y(t)$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Stochastische Systemtheorie.
Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Leistungsdichtespektrum.

Beachten Sie bitte auch die folgende Fouriertransformation $($in $\omega)$:

$$H( \omega ) = \frac{1}{{1 + {\rm{j}}\cdot \omega /\omega _0 }}\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\hspace{0.15cm}h(t) = \omega _0 \cdot {\rm{e}}^{ - \omega _0 t} \hspace{0.3cm}(t \ge 0).$$

Für negative $t$–Werte ist dagegen stets $h(t) =0$.

Fragebogen

	die Funktionen $\varphi_x(\tau)$ und $\varphi_y(\tau)$ bekannt sind,
	die Funktionen $\varphi_x(\tau)$ und $\varphi_{xy}(\tau)$ bekannt sind,
	die Funktionen $\varphi_{xy}(\tau)$ und $\varphi_y(\tau)$ bekannt sind.

$h(t = T_0) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-3} \ \rm 1/s$

$H(f = 0) \ = \ $

${\it \Phi}_y(f = 1/(2\pi T_0)) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-12}\ \rm W/Hz$

Musterlösung

Solution

(1) Die Aussagen 2 und 3 sind zutreffend.

Es gelten folgende Gleichungen:

$$\varphi _{xy} ( \tau ) = h( \tau ) * \varphi _x ( \tau )\quad \Rightarrow \quad H( f ) = \frac{{{\it \Phi} _{xy} ( f )}}{{{\it \Phi} _x ( f )}},$$

$$\varphi _y ( \tau) = \varphi _{xy} ( \tau) * h(- \tau)\quad \Rightarrow \quad H^{\star}( f ) = \frac{{{\it \Phi} _y ( f )}}{{{\it \Phi} _{xy} ( f )}}.$$

Dagegen ist die erste Aussage falsch: Bei der AKF-Berechnung gehen die Phasenbeziehungen verloren.
Die zugehörigen Spektralfunktionen zu $\varphi_x(\tau)$ und $\varphi_x(\tau)$ – nämlich ${\it \Phi}_x(f)$ und ${\it \Phi}_y(f)$ – sind rein reell, so dass nur der Betrag $|H(f)|$ angegeben werden kann.

(2) Bei diracförmiger Eingangs-AKF $\varphi_x(\tau)$ ist die Impulsantwort $h(t)$ formgleich mit der KKF:

$$h(t) = \frac{{K \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 } }}{N_0 /2} = 1.256 \cdot 10^{ - 2} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t = T_0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 4.62 \cdot 10^{-3}\ \rm 1/s}.$$

(3) Die angegebene Fourierkorrespondenz lautet mit $T_0 = 1/\omega_0$ und der Konstanten $C= N_0/2 \cdot T_0/K$:

$$h(t) = \frac{C}{T_0 } \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 }\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\hspace{0.15cm} H( \omega ) = \frac{C}{{1 + {\rm{j}}\cdot \omega T_0 }}.$$

Die Konstante ergibt sich zu $C = 0.08$. Mit $H(f) = 2 \pi \cdot H(\omega)$ folgt daraus:

$$H(f) = \frac{0.5}{1 + {\rm{j\cdot 2\pi }}\cdot fT_0 } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f= 0) \hspace{0.15cm}\underline{=0.5}.$$

(4) Für das Ausgangs-LDS gilt im Allgemeinen bzw. speziell hier:

$${\it \Phi}_y (f) = {\it \Phi} _x (f) \cdot \left| {H(f)} \right|^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \frac{0.5^2 }{{\left( {1 + {\rm{j\cdot 2\pi }}\cdot fT_0 } \right)\left( {1 - {\rm{j\cdot 2\pi }}\cdot fT_0 } \right)}} = {N_0 }/{8} \cdot \frac{1}{1 + \left( {{\rm{2\pi }}\cdot fT_0 } \right)^2 }.$$

Bei der angegebenen Frequenz $f = 1/(2\pi T_0)$ ist ${\it \Phi}_y (f)$ gegenüber seinem Maximum bei $f=0$ um die Hälfte abgefallen:

$${\it \Phi}_y (f = 1/(2 \pi T_0)) ={N_0 }/{16}\hspace{0.15cm} \underline{ = 6.25 \cdot 10^{ - 12} \;{\rm{W/Hz}}}.$$