The Fourier Transform and its Inverse

# OVERVIEW OF THE THIRD MAIN CHAPTER #

In the second chapter periodic signals were described by different harmonic oscillations („fourier series”). If one reduces – at least mentally – the pulse repetition frequency of a periodic signal more and more, i.e., the period duration becomes longer and longer, then one comes from the periodic signal (pulse) to the unique aperiodic signal – often also called pulse .

In the following, such aperiodic, impulse-shaped signals are considered and mathematically described in the time– and frequency domain.

The chapter contains in detail:

the derivation of the two fourier integral from the fourier series
the extension of the Fourier integral to fourier transform by means of distributions,
some special cases impulse-like signals like square–, Gauss– and Diracimpulse,
the laws of the fourier transform, and finally
the meaning of the convolution operation and its various applications.

The Laplace– and the Hilbert transform, which are only applicable to causal signals or systems, will be treated in the next book „Linear time-invariant systems”.

Further information on the topic as well as tasks, simulations and programming exercises can be found in the

Chapter 6: Linear time-invariant systems, Program lzi

of the lab „Simulation Methods in Communication Engineering”. This (former) LNT course at the TU Munich is based on

the educational software package LNTsim ⇒ Link points to the ZIP version of the program and
the associated lab description ⇒ Link refers to the PDF version; Chapter 6: pages 99-118.

Properties of aperiodic signals

In the last chapter periodic signals were considered. The essential characteristic of these signals is, that you can specify a period duration $T_0$ for them. If such a period duration cannot be indicated or - which is the same in practice - has $T_0$ an infinitely large value, one speaks of an 'aperiodic signal.

For the present chapter „Aperiodic Signals – Impulse” the following conditions should apply:

The considered signals $x(t)$ are aperiodic and energy-limited: They possess a finite energy $E_x$ and a negligible (medium) power $P_x$.
Often the energy of these signals is concentrated on a relatively short time range, so that one also speaks of impulse-shaped signals .

Energy-Limited Signal $x_1(t)$ and Power-Limited Signal $x_2(t)$

$\text{Example 1:}$ The figure above shows a rectangular pulse $x_1(t)$ with amplitude $A$ and duration $T$ as an example of an aperiodic and time-limited signal. This pulse has

the finite signal-energy ⇒ here: $E_1=A^2 \cdot T$, and
the power $P_1$ = 0.

A power-limited signal, for example the cosine signal $x_2(t)$, shown below, has

always a finite power ⇒ here: $P_2=A^2/2$, and
thus also an infinitely large signal energy: $E_2 \to \infty$.

Closer Examination of the Fourier Coefficients

We assume a periodic signal $x_{\rm P}(t)$ with the period duration $T_0$ which corresponds to the explanations on the page Complex Fourier Series . This signal can be displayed as follows:

Periodic Signal $x_{\rm P}(t)$ and $x_{\rm P}\hspace{0.01cm}'(t)$ and its line spectra

$$x_{\rm P}(t)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}D_{\it n}\cdot \rm e^{j 2 \pi \hspace{0.01cm}{\it n} \hspace{0.01cm}\it t / T_{\rm 0}}.$$

The Fourier coefficients are generally complex
$($it applies $D_{-n}={D_n}^\ast)$:

$$D_n=\frac{1}{T_0}\cdot \int^{+T_0/2}_{-T_0/2}x_{\rm P}(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j 2 \pi \hspace{0.01cm}{\it n} \it t / T_{\rm 0}}\, {\rm d}t.$$

Die dazugehörige Spektralfunktion $X_{\rm P}(f)$ ist ein so genanntes Linienspektrum mit Spektrallinien im Abstand $f_0=1/T_0$:

$$X_{\rm P}(f)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}D_n\cdot\delta(f-n\cdot f_0).$$

Die obere Grafik zeigt links das periodische Zeitsignal $x_{\rm P}(t)$ und rechts das zugehörige Betragsspektrum $|X_{\rm P}(f)|$. Es handelt sich hierbei lediglich um eine schematische Skizze:
Weitere Anmerkungen:

Ist $x_{\rm P}(t)$ eine reelle und gerade Funktion, so ist $X_{\rm P}(f)$ ebenfalls reell und gerade.
Die Gleichung $X_{\rm P}(f) = |X_{\rm P}(f)|$ gilt allerdings nur dann, wenn alle Spektrallinien zudem auch positiv sind.

In der unteren Grafik ist links ein weiteres periodisches Signal ${x_{\rm P}}\hspace{0.01cm}'(t)$ mit doppelter Periodendauer ${T_0}\hspace{0.01cm}' = 2 \cdot T_0$ dargestellt. Für dieses Signals gilt:

$${x_{\rm P}}'(t)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}{\it D_n}'\cdot {\rm e}^{{\rm j} 2 \pi \hspace{-0.05cm}{\it n t / T}_{\rm 0}\hspace{0.01cm}'} \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}{\it D_n}'=\frac{1}{{T_0}\hspace{0.01cm}'}\cdot \int^{{+T_0}'/2}_{-{T_0}'/2}{x_{\rm P}}'(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j 2 \pi \hspace{-0.05cm}{\it n t / T}_{\rm 0}\hspace{0.01cm}'}\, {\rm d}\it t.$$

Im Bereich von $-T_0/2$ bis $+T_0/2$ sind die beiden Signale identisch. Wir betrachten auch hier die Spektralfunktion ${X_{\rm P} }'(f)$ entsprechend der rechten Skizze:

Aufgrund der doppelten Periodendauer $({T_0}' = 2 \cdot T_0)$ liegen nun die Spektrallinien enger beisammen $({f_0}' = f_0/2)$.
Die beiden Koeffizienten $D_n$ und ${D_{2n}}'$ – im Bild rot hervorgehoben – gehören zur gleichen physikalischen Frequenz $f = n \cdot f_0 = 2n \cdot {f_0}'$.

Wir erkennen durch einen Vergleich der beiden Koeffizienten

$$D_n=\frac{1}{T_0}\cdot \int^{+T_0/2}_{-T_0/2}x_{\rm P}(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j 2 \pi \hspace{-0.05cm}{\it n} \it t / T_{\rm 0}}\, {\rm d}t \hspace{0.5cm}\text{und} \hspace{0.5cm} {D_{2n}}'=\frac{1}{{T_0}'}\cdot \int^{+{T_0}'/2}_{-{T_0}'/2}{x_{\rm P}}'(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j 4 \pi \hspace{-0.05cm}{\it n} \it t / {T_{\rm 0}}'}\, {\rm d}t \text{:} $$

Zwischen $T_0/2$ und ${T_0}'/2$ ist ${x_{\rm P}}'(t) \equiv 0$, ebenso im dazu symmetrischen Intervall bei negativen Zeiten.
Deshalb können die Integrationsgrenzen auf $\pm T_0/2$ eingeschränkt werden.
Innerhalb der neuen Integrationsgrenzen kann ${x_{\rm P}}'(t)$ durch $x_{\rm P}(t)$ ersetzt werden.

Setzen wir nun in obiger Gleichung noch ${T_0}' = 2T_0$, so erhalten wir:

$${D_{2n}}'=\frac{1}{2T_0}\cdot \int^{+T_0/2}_{-T_0/2}x_{\rm P}(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j 2 \pi \hspace{-0.05cm}{\it n} t / T_{\rm 0}}\, {\rm d}t = {D_n}/{2} .$$

$\text{Wir fassen dieses Ergebnis kurz zusammen:}$

Die Spektrallinie des Signals ${x_{\rm P} }'(t)$ bei der Frequenz $f = n \cdot {f_0}'$ wird mit ${D_{2n} }'$ bezeichnet (untere Grafik).
Diese Linie ist genau halb so groß wie die Spektrallinie $D_n$ des Signals $x_{\rm P}(t)$ bei der gleichen physikalischen Frequenz $f$ (obere Grafik).
Die Spektralfunktion ${X_{\rm P} }'(f)$ weist gegenüber $X_P(f)$ zusätzliche Spektrallinien bei $(n + 1/2) \cdot f_0$ auf.
Diese führen dazu, dass im Zeitbereich jeder zweite „Impuls” von $x_{\rm P}(t)$ um $n \cdot T_0$ gelegen $(n$ ungeradzahlig$)$ ausgelöscht wird.

Vom periodischen zum aperiodischen Signal

Wir greifen nun die Überlegungen der vorherigen Seite auf und wählen die Periodendauer ${T_0}'$ von ${x_{\rm P}}'(t)$ allgemein um einen ganzzahligen Faktor $k$ größer als die Periodendauer $T_0$ von ${x_{\rm P}}(t)$. Dann können die bisherigen Aussagen verallgemeinert werden:

Vom periodischen zum aperiodischen Signal

Der Linienabstand ist bei ${X_{\rm P}}'(f)$ um den Faktor $k$ geringer als beim Spektrum ${X_{\rm P}}(f)$.
Um diesen Sachverhalt hervorzuheben, bezeichnen wir die Frequenz–Laufvariable der Funktion ${X_{\rm P}}'(f)$ mit $\nu$ anstelle von $n$. Es gilt: $\nu=k \cdot n$.
Für die Spektrallinie des Signals ${x_{\rm P}}'(t)$ bei der Frequenz $f=n \cdot f_0 =\nu \cdot {f_0}'$ gilt:

$${D_\nu}' = {1}/{k} \cdot D_n, \hspace{0.5cm} {\rm wobei} \hspace{0.5cm} \nu = k \cdot n.$$

Wählt man nun – wie im Bild schematisch dargestellt – den Faktor $k$ und damit die Periodendauer ${T_0}'$ immer größer und lässt sie schließlich nach unendlich gehen, so

geht das periodische Signal ${x_{\rm P}}(t)$ in das aperiodische Signal $x(t)$ über,
kann man das Linienspektrum ${X_{\rm P}}(f)$ durch das kontinuierliche Spektrum $X(f)$ ersetzen.

Das erste Fourierintegral

Bezüglich den Spektralfunktion $X_{\rm P}(f)$ und $X(f)$ lassen sich somit folgende Aussagen machen:

Die einzelnen Spektrallinien liegen nun beliebig eng beieinander $({f_0}'=1/{T_0}' \to 0)$.
In der Spektralfunktion $X(f)$ treten nun innerhalb bestimmter Intervalle alle möglichen (nicht nur diskrete) Frequenzen auf ⇒ $X(f)$ ist kein Linienspektrum mehr.
Der Beitrag einer jeden einzelnen Frequenz $f$ zum Signal ist nur verschwindend gering $(k \to \infty, {D_{\nu}}' \to 0)$.
Aufgrund der unendlich vielen Frequenzen ergibt sich jedoch insgesamt ein endliches Resultat.
Anstatt die Fourierkoeffizienten ${D_{\nu}}'$ zu berechnen, wird nun eine spektrale Dichte $X(f)$ ermittelt. Bei der Frequenz $f=\nu\cdot {f_0}'$ gilt dann:

$$X(f = {\rm \nu} {f_{\rm 0}}') = \lim_{{f_{\rm 0}}' \hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm} 0} ({{D_{\rm \nu}}'}/{{f_{\rm 0}}'}) = \lim_{{T_{\rm 0}}' \to \infty} ({D_{\rm \nu}}' \cdot {T_{\rm 0}}').$$

Die Spektralfunktion $X(f)$ des aperiodischen Signals $x(t)$ ist im Spektrum $X_{\rm P}(f)$ des periodischen Signals $x_{\rm P}(t)$ als Einhüllende erkennbar (siehe Grafiken).
In der unteren Grafik auf der letzten Seite entspricht ${D_{\nu}}'$ der rot hinterlegten Fläche des Frequenzintervalls um $\nu \cdot {f_0}'$ mit der Breite ${f_0}'$.

Verwendet man die auf der letzten Seite angegebenen Gleichungen, so erhält man:

$$X(f = {\rm \nu} \cdot {f_{\rm 0}}') = \lim_{{T_{\rm 0}'} \to \infty} \int ^{{T_{\rm 0}}'/2} _{-{T_{\rm 0}}'/2} x_{\rm P}(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi\nu \it {f_{\rm 0}}' t} \,{\rm d}t.$$

Durch den gemeinsamen Grenzübergang $({T_0}' \to \infty, \ {f_0}' \to 0)$ wird nun

aus dem periodischen Signal $x_{\rm P}(t)$ das aperiodische Signal $x(t)$, und
aus der diskreten Frequenz $\nu \cdot {f_0}'$ die kontinuierliche Frequenzvariable $f$.

Damit erhält man eine fundamentale Definition, welche die Berechnung der Spektralfunktion einer aperiodischen Zeitfunktion ermöglicht. Der Name dieser Spektraltransformation geht auf den französischen Physiker Jean-Baptiste-Joseph Fourier zurück.

$\text{Erstes Fourierintegral:}$

Die Spektralfunktion (oder kurz: das Spektrum ) eines aperiodischen und gleichzeitig energiebegrenzten Signals $x(t)$ ist wie folgt zu berechnen:

$$X(f)= \hspace{0.05cm}\int_{-\infty} ^{ {+}\infty} x(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$$

Das Lernvideo Kontinuierliche und diskrete Spektren soll die Aussagen der letzten Seiten nochmals verdeutlichen.

Betrachteter Rechteckimpuls $x(t)$

$\text{Beispiel 2:}$ Gegeben ist der skizzierte Zeitverlauf $x(t)$. Gesucht ist das zugehörige Spektrum $X(f)$.

Wir wenden dazu das erste Fourierintegral an.

Aus obiger Darstellung ist zu erkennen, dass für $\vert t \vert > T/2$ das Signal $x(t) = 0$ ist.
Das bedeutet, dass das Integrationsintervall auf den Bereich $\pm T/2$ begrenzt werden kann.
Damit erhält man den Ansatz:

$$ \begin{align*} X(f) & = A \cdot \int_{- T/2}^{+T/2} {\rm e}^{- {\rm j2\pi} ft}\,{\rm d}t = \frac{ A}{- \rm j2\pi f}\left[ {\rm e}^{- {\rm j}2\pi ft}\right]_{-T/2}^{+T/2} \\ & = \frac{\it A} {- \rm j 2\pi f}\cdot \big[\cos({\rm \pi} f T) - {\rm j} \cdot \sin({\rm \pi} fT) - \cos({\rm \pi} fT) - {\rm j} \cdot \sin({\rm \pi} fT)\big] \end{align*}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.5cm}X(f)=A\cdot \frac{\sin({\rm \pi} fT)}{ {\rm \pi} f}.$$

Erweitert man Zähler und Nenner mit $T$, so erhält man:

$$X(f)=A\cdot T \cdot\frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} = A\cdot T \cdot{\rm si }(\pi fT) .$$

Die Funktion $\text{si}(x) = \sin(x)/x$ wird auf der Seite Rechteckimpuls eingehend analysiert. Man bezeichnet diese „si–Funktion” manchmal auch als „Spaltfunktion”.

Betrachten wir noch die Einheiten der beiden Funktionen im Zeit- und Frequenzbereich:

Ist $x(t)$ beispielsweise eine Spannung, so hat die Impulsamplitude $A$ die Einheit „Volt”.
Die Dimension der Größe $T$ ist häufig die Zeit, zum Beispiel mit der Einheit „Sekunde”.
Der Kehrwert der Zeit entspricht der Frequenz mit der Einheit „Hertz”.
Das Argument $f \cdot T$ ist dimensionslos.
Die Spektralfunktion $X(f)$ hat somit beispielsweise die Einheit „V/Hz”.

Fouriertransformation

Das Spektrum $X(f)$ eines Signals $x(t)$ lautet gemäß dem „Ersten Fourierintegral”:

$$X(f)= \hspace{0.05cm}\int _{-\infty} ^{{+}\infty} x(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$$

Wie auf der letzten Seite an einem einfachen Beispiel gezeigt wurde, ist dieses Integral bei einem energiebegrenzten Signal $x(t)$ problemlos lösbar. Bei nicht energiebegrenzten Signalen, zum Beispiel

einem Gleichsignal ,
einer harmonischen Schwingung, oder
einem anklingenden Signal,

divergiert aber das Fourierintegral. Unter Einbeziehung einer beidseitig abfallenden Hilfsfunkion $\varepsilon (t)$ kann allerdings die Konvergenz erzwungen werden:

$$X(f) = \lim_{\varepsilon \to 0} \int _{-\infty} ^{{+}\infty} x(t) \cdot {\rm e}^{\it -\varepsilon | \hspace{0.01cm} t \hspace{0.01cm} |} \cdot {\rm e}^{{-\rm j 2 \pi}\it ft} \,{\rm d}t.$$

Solche nicht energiebegrenzten Signale führen im Spektrum zu so genannten „Diracfunktionen”, manchmal auch „Distributionen” genannt.

$\text{Definition:}$ Man bezeichnet den allgemein gültigen Funktionalzusammenhang $X(f) = F\big [x(t) \big ]$ als Fouriertransformation. Für die Kurzschreibweise verwenden wir (mit dem „weißen” Punkt für den Zeitbereich und dem ausgefüllten Punkt für den Spektralbereich):

$$X(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ x(t).$$

Bei einem anklingenden Signal wird die Konvergenz allerdings nur dann erreicht, solange die Zeitfunktion weniger als exponentiell ansteigt.

Sprungfunktion und zugehöriges Spektrum

$\text{Beispiel 3:}$ Wir betrachten eine akausale Sprungfunktion

$$x (t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} { +1 } & { {\rm{f\ddot{u}r} }\quad t > 0,} \\ {-1 } & { {\rm{f\ddot{u}r} }\quad t < 0.} \\\end{array} } \right.$$

Dieses Signal ist in der linken Skizze in blauer Farbe dargestellt.

Da das Signal $x(t)$ nach beiden Seiten bis ins Unendliche reicht, muss zur Berechnung der Fouriertransformierten für beide Abschnitte zunächst ein geeigneter Konvergenzfaktor $\text{e}^{-\varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \vert}$ hinzugefügt werden $($es gelte $\varepsilon > 0)$. Die resultierende Zeitfunktion lautet dann:

$$x_\varepsilon (t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} { {\rm{e} }^{ - \varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t} } & { {\rm{f\ddot{u}r} }\quad t > 0,} \\ { {\rm{ - e} }^{\hspace{0.05cm}\varepsilon\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t} } & { {\rm{f\ddot{u}r} }\quad t < 0.} \\\end{array} } \right.$$

Nach ähnlicher Vorgehensweise wie auf der Seite Diracfunktion im Frequenzbereich ergibt sich für die zugehörige Spektralfunktion:

$$X_\varepsilon (f) = \frac{1}{ {\varepsilon + {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f} } - \frac{1}{ {\varepsilon - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f} } = \frac{ { - {\rm{j4\pi } }f} }{ {\varepsilon ^2 + \left( {2{\rm{\pi } }f} \right)^2 } }.$$

Eigentlich interessieren wir uns aber für das Spektrum der tatsächlichen Sprungfunktion

$$x(t) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm}0 } x_\varepsilon (t).$$

Deshalb ist auch die Spektralfunktion $X(f) =\text{F}\big[x(t)\big]$ als Grenzwert von $X_\varepsilon(f)$ für $\varepsilon \to 0$ zu bestimmen:

$$X(f) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \hspace{0.05cm} \to \hspace{0.05cm}0 } X_\varepsilon (f) = \frac{ { - {\rm{j} } } }{ { {\rm{\pi } }f} } = \frac{1}{ { {\rm{j\pi } }f} }.$$

In der rechten Grafik ist die imaginäre Spektralfunktion $X(f)$ als blaue Kurve dargestellt. Man erkennt, dass $\vert X(f) \vert$ mit steigender Frequenz kontinuierlich abnimmt.

Der grüne Kurvenzug in der linken Grafik zeigt das Signal $y(t)$, das sich von $x(t)$ nur bei den negativen Zeiten unterscheidet.

In diesem Bereich gilt $y(t) = 0$. Die zugehörige Spektralfunktion $Y(f)$ ist im gesamten Bereich nur halb so groß wie $X(f)$. Dies zeigt die nachfolgende Rechnung:

$$Y(f) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0 } Y_\varepsilon (f) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \hspace{0.05cm} \to \hspace{0.05cm}0 }\frac{1}{ {\varepsilon + {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f} } = \frac{1}{ { {\rm{j2\pi } }f} }.$$

Zudem ergibt sich auf Grund des Gleichanteils nun noch eine Diracfunktion bei $f = 0$ mit dem Gewicht $1/2$. Hierauf wird im Beispiel zum Abschnitt Zuordnungssatz noch im Detail eingegangen.

Das zweite Fourierintegral

Bisher wurde lediglich gezeigt, wie man für ein aperiodisches, impulsförmiges Signal $x(t)$ die zugehörige Spektralfunktion $X(f)$ berechnet. Nun wenden wir uns der umgekehrten Aufgabenstellung zu, nämlich: Wie ermittelt man die Zeitfunktion $x(t)$ aus der Spektralfunktion $X(f)$?

Zum zweiten Fourierintegral

Mit den gleichen Bezeichnungen wie auf den ersten Seiten dieses Kapitels kann man das Signal $x(t)$ als Fourierreihe schreiben, wobei nun der Grenzübergang ${f_0}' \to 0$ zu berücksichtigen ist:

$$x(t)=\lim_{{f_{\rm 0}}' \hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm}0} \sum^{+\infty}_{\nu = -\infty}{D_{\it \nu}}' \cdot \rm e^{j\hspace{0.03cm} 2 \hspace{0.03cm}\pi \hspace{0.03cm}\it\nu \hspace{0.03cm} {f_{\rm 0}}' t}.$$

Erweitert man nun sowohl den Zähler als auch den Nenner um ${f_0}'$, so erhält man:

$$x(t)=\lim_{{f_{\rm 0}}' \hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm}0} \sum^{+\infty}_{\nu = -\infty} ({{D_{\it \nu}}'}/{{f_{\rm 0}}'}) \cdot \rm e^{j \hspace{0.03cm}2\hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm} \it \nu \hspace{0.03cm}{f_{\rm 0}}' t} \cdot {\it f_{\rm 0}}'.$$

Der Grenzübergang ${f_0}' \to 0$ hat folgende Auswirkungen:

Die (unendliche) Summe wird zu einem Integral, wobei ${f_0}'$ formal durch die differenzielle Größe $\text{d}f$ (Integrationsvariable) zu ersetzen ist.
Die Größe $\nu \cdot{f_0}'$ im Exponenten beschreibt die physikalische Frequenz $f$.
Der Quotient ${D_{\nu}}'/{f_0}'$ ergibt die Spektralfunktion $X(f)$ bei der Frequenz $f$.

Unter Berücksichtigung dieser Eigenschaften kommt man zum „zweiten Fourierintegral”.

$\text{Zweites Fourierintegral:}$ Ist die Spektralfunktion $X(f)$ eines aperiodischen und energiebegrenzten Signals gegeben, so lautet die dazugehörige Zeitfunktion:

$$x(t) = \hspace{0.01cm}\int_{-\infty} ^{ {+}\infty} X(f) \, \cdot \, { \rm e}^{\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}f.$$