Exercise 2.3: Cosine and Sine Components

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Spektrum von Cosinus- und Sinusanteilen

Gegeben ist das Amplitudenspektrum  $X(f)$  eines Signals  $x(t)$  entsprechend der Grafik.

• Die Normierungsfrequenz sei  $f_1 = 4\,\text{kHz}$.
• Damit liegen die tatsächlichen Frequenzen der Signalanteile bei  $0\,\text{kHz}$,  $4\,\text{kHz}$  und  $10\,\text{kHz}$.

Dieses Signal  $x(t)$  liegt am Eingang eines linearen Differenzierers, dessen Ausgang mit  $\omega_1 = 2\pi f_1$  wie folgt dargestellt werden kann:

$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d} x(t)}{{\rm d} t}.$$

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Harmonische Schwingung.

Fragebogen

1

Geben Sie  $x(t)$  analytisch an.  Wie groß ist der Signalwert bei  $t = 0$?

$x(t=0)\ = \ $   ${\rm V}$

2

Wie groß ist die Periodendauer des Signals  $x(t)$?

$T_0\ = \ $   ${\rm ms}$

3

Berechnen Sie das Ausgangssignal  $y(t)$  des Differenzierers.  Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt  $t = 0$?

$y(t=0)\ = \ $   ${\rm V}$

4

Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich des Signals  $y(t)$  bzw. seines Spektrums  $Y(f)$  zutreffend?

	$y(t)$  hat die gleiche Periodendauer wie das Signal  $x(t)$.
	$Y(f)$  beinhaltet eine Diracfunktion bei der Frequenz  $f = 0$.
	$Y(f)$  beinhaltet eine Diracfunktion bei  $+f_1$  mit dem Gewicht  $\rm{j} · 1\,{\rm V}$.
	$Y(f)$  beinhaltet eine Diracfunktion bei  $–\hspace{-0.1cm}2.5 \cdot f_1$  mit dem Gewicht  $5\,{\rm V}$.

Musterlösung

Solution

Summensignal aus Cosinus- und Sinusanteilen

(1)  Das Zeitsignal hat die folgende Form:

$$x(t)={\rm 3V}-{\rm 2V}\cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)+{\rm 4V} \cdot \sin(2.5 \cdot \omega_{\rm 1} \cdot t).$$

• Hierbei bezeichnet  $\omega_1 = 2\pi f_1$  die Kreisfrequenz des Cosinusanteils.
• Zum Zeitpunkt  $t = 0$  hat das Signal den Wert  $x(t=0)\hspace{0.15 cm}\underline{=1\,\rm V}$.

(2)  Die Grundfrequenz  $f_0$  ist der kleinste gemeinsame Teiler

• von $f_1 = 4{\,\rm kHz}$
• und $2.5 · f_1 = 10{\,\rm kHz}$.

Daraus folgt  $f_0 = 2{\,\rm kHz}$   ⇒   Periodendauer $T_0 = 1/f_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.5 {\,\rm ms}}$.

Spektrum mit diskreten Anteilen

(3)  Für das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers gilt:

$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d}x(t)}{{\rm d}t}=\frac{ {\rm -2V}}{\omega_1}\cdot\omega_1 \cdot (-\sin(\omega_1 t))+\frac{\rm 4V}{\omega_1}\cdot 2.5\omega_1\cdot {\rm cos}(2.5\omega_1t).$$

• Dies führt zum Ergebnis:

$$y(t)={\rm 2V}\cdot\sin(\omega_1 t)+{\rm 10V}\cdot\cos(2.5\omega_1 t).$$

• Für  $t = 0$  ergibt sich der Wert  $y(t=0)\hspace{0.15cm}\underline{=10\,\rm V}$.
• Rechts ist das Spektrum  $Y(f)$  dargestellt.

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

• Die Periodendauer $T_0$ wird durch die Amplitude und die Phase der beiden Anteile nicht verändert.
• Das bedeutet, dass weiterhin  $T_0 = 0.5 {\,\rm ms}$  gilt.
• Der Gleichanteil verschwindet aufgrund der Differentiation.
• Der Anteil bei  $f_1$  ist sinusförmig. Somit hat  $X(f)$  einen (imaginären) Dirac bei  $f = f_1$, jedoch mit negativem Vorzeichen.
• Der Cosinusanteil mit der Amplitude  ${10\,\rm V}$  hat die beiden Diracfunktionen bei  $\pm 2.5 \cdot f_1$  zur Folge, jeweils mit dem Gewicht  ${5\,\rm V}$ .