Exercise 5.3Z: Zero-Padding

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$\rm MQF$–Werte als Funktion von  $T_{\rm A} /T$  und  $N$

Wir betrachten die DFT eines Rechteckimpulses  $x(t)$  der Höhe  $A =1$  und der Dauer  $T$. Damit hat die Spektralfunktion  $X(f)$  einen  $\sin(f)/f$–förmigen Verlauf.

Für diesen Sonderfall soll der Einfluss des DFT–Parameters  $N$  analysiert werden, wobei der Stützstellenabstand im Zeitbereich stets  $T_{\rm A} = 0.01T$  bzw.  $T_{\rm A} = 0.05T$  betragen soll.

Nebenstehend sind für unterschiedliche Werte von  $N$  die sich ergebenden Werte für den mittleren quadratischen Fehler  (MQF) der Stützwerte im Frequenzbereich angegeben:

$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1} \left|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right|^2 \hspace{0.05cm}.$$

Für  $T_A/T = 0.01$  sind somit stets  $101$  der DFT–Koeffizienten  $d(ν)$  von Null verschieden.

• Davon besitzen  $99$  den Wert  $1$  und die beiden Randkoeffizienten sind jeweils gleich  $0.5$.

• Vergrößert man  $N$, so wird das DFT–Koeffizientenfeld mit Nullen aufgefüllt.

• Man spricht dann von „Zero–Padding”.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT.

• Die Theorie zu diesem Kapitel ist im Lernvideo  Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT  zusammengefasst.

Fragebogen

1

Welche Aussagen können aus den angegebenen MQF-Werten  $($gültig für  $T_{\rm A}/T = 0.01$  und  $N ≥ 128)$  abgeleitet werden?

	Der  $\rm MQF$–Wert ist hier nahezu unabhängig von  $N$.
	Der  $\rm MQF$–Wert wird durch den Abbruchfehler bestimmt.
	Der  $\rm MQF$–Wert wird durch den Aliasingfehler bestimmt.

2

Es gelte  $T_{\rm A}/T = 0.01$. Wie groß ist der Abstand  $f_{\rm A}$  benachbarter Abtastwerte im Frequenzbereich für  $N = 128$  und  $N = 512$?

$N = 128$:     $f_{\rm A} \cdot T \ = \ $

$N = 512$:     $f_{\rm A} \cdot T \ = \ $

3

Was sagt das Produkt  $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$  hinsichtlich der DFT–Qualität aus?

	Das Produkt  $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$  berücksichtigt die Genauigkeit und die Dichte der DFT–Werte.
	Das Produkt  $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$  sollte möglichst groß sein.

4

Es wird nun  $N = 128$  fest vorgegeben. Welche Aussagen gelten für den Vergleich der DFT–Ergebnisse mit  $T_{\rm A}/T = 0.01$  und  $T_{\rm A}/T = 0.05$ ?

	Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  erhält man eine feinere Frequenzauflösung.
	Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  ist der  $\rm MQF$–Wert kleiner.
	Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  nimmt der Einfluss des Abbruchfehlers ab.
	Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  wächst der Einfluss des Aliasingfehlers.

5

Nun gelte  $N = 64$. Welche Aussagen treffen für den Vergleich der DFT–Ergebnisse mit  $T_{\rm A}/T = 0.01$  und  $T_{\rm A}/T = 0.05$  zu?

	Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  erhält man eine feinere Frequenzauflösung.
	Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  ist der  $\rm MQF$–Wert kleiner.
	Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  nimmt der Einfluss des Abbruchfehlers ab.
	Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  wächst der Einfluss des Aliasingfehlers.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

• Bereits mit  $N = 128$  ist  $T_{\rm P} = 1.28 \cdot T$, also größer als die Breite des Rechtecks.
• Somit spielt hier der Abbruchfehler überhaupt keine Rolle.
• Der  $\rm MQF$–Wert wird allein durch den Aliasingfehler bestimmt.
• Die Zahlenwerte bestätigen eindeutig, dass  $\rm MQF$  (nahezu) unabhängig von  $N$  ist.

(2)  Aus  $T_{\rm A}/T = 0.01$  folgt  $f_{\rm P} \cdot T = 100$.

• Die Stützwerte von  $X(f)$ liegen also im Bereich  $–50 ≤ f \cdot T < +50$.
• Für den Abstand zweier Abtastwerte im Frequenzbereich gilt  $f_{\rm A} = f_{\rm P}/N$. Daraus ergeben sich folgende Ergebnisse:

• $N = 128$:   $f_{\rm A} \cdot T \; \underline{\approx 0.780}$,
• $N = 512$:   $f_{\rm A} \cdot T \; \underline{\approx 0.195}$.

(3)  Richtig ist die erste Aussage:

• Für  $N = 128$  ergibt sich für das Produkt  $\text{MQF} \cdot f_{\rm A} \approx 4.7 \cdot 10^{-6}/T$. Für  $N = 512$  ist das Produkt etwa um den Faktor  $4$  kleiner.
• Das heißt:   Durch „Zero–Padding” wird keine größere DFT-Genauigkeit erzielt, dafür aber eine feinere „Auflösung” des Frequenzbereichs.
• Das Produkt  $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$  berücksichtigt diese Tatsache; es sollte stets möglichst klein sein.

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

• Wegen  $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} \cdot N = 1$  ergibt sich bei konstantem  $N$  immer dann ein kleinerer  $f_{\rm A}$–Wert, wenn man $T_{\rm A}$ vergrößert.
• Aus der Tabelle auf der Angabenseite erkennt man, dass damit der mittlere quadratische Fehler  $\rm (MQF)$  signifikant  $($etwa um den Faktor  $400)$  vergrößert wird.
• Der Effekt geht auf den Aliasingfehler zurück, da durch den Übergang von  $T_{\rm A}/T = 0.01$  auf  $T_{\rm A}/T = 0.05$  die Frequenzperiode um den Faktor  $5$  kleiner wird.
• Der Abbruchfehler spielt dagegen beim Rechteckimpuls weiterhin keine Rolle, solange  $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$  größer ist als die Impulsdauer  $T$.

(5)  Alle Aussagen treffen zu:

• Mit den Parameterwerten  $N = 64$  und  $T_{\rm A}/T = 0.01$  tritt ein extrem großer Abbruchfehler auf.
• Alle Zeitkoeffizienten sind hier  $1$, so dass die DFT fälschlicherweise ein Gleichsignal anstelle der Rechteckfunktion interpretiert.