Exercise 3.8Z: Convolution of Two Rectangles

Zur Faltung zweier Rechtecke

At the input of a causal LTI system (i.e. linear and time-invariant) with a rectangular impulse response ${h(t)}$ of duration $2 \,\text{ms}$ , a rectangular impulse ${x(t)}$ of duration $T = 3 \,\text{ms}$ and amplitude $A = 2\,\text{ V}$ is applied. The square-wave functions each start at the time $t = 0$.

In this task you are to calculate the output signal ${y(t)}$ with the help of the graphic convolution. As you can easily check, the output signal ${y(t)}$

differs from zero only in the range from $0$ to $5 \, \text{ms}$ and
is symmetrical at the time $t = 2.5 \, \text{ms}$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Faltungssatz und Faltungsoperation.
Sie bezieht sich vorwiegend auf die Seite Grafische Faltung
Die Thematik dieses Abschnitts wird auch im interaktiven Applet Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung veranschaulicht.

Fragebogen

$y(t = 1 \,\text{ms})\ = \ $

$\text{V}$

$y(t = 2 \,\text{ms})\ = \ $

$\text{V}$

$y(t = 3 \,\text{ms})\ = \ $

$\text{V}$

$y(t = 4 \,\text{ms})\ = \ $

$\text{V}$

	Das Ausgangssignal ${y(t)}$ hat einen trapezförmigen Verlauf.
	Das Spektrum lautet: ${Y(f)} = Y_0 \cdot \text{si}^{2}(\pi f T)$.
	Mit $T = 2 \,\text{ms}$ würde sich eine Dreiecksform ergeben.

Musterlösung

Solution

Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung $x(t) \star h(t)$

(1) Allgemein gilt für das Faltungsintegral:

$$y(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau ) \cdot h( {t - \tau } )}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau.$$

Hinweis: Die Abszissen in nebenstehender Grafik wurden zu $\tau$ umbenannt.

Der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 1 \,\text{ms}$ kann wie folgt berechnet werden:

Spiegelung der Impulsantwort ${h(\tau)}$,
Verschiebung um $t = 1 \text{ ms}$ nach rechts (violette Kurve in der Skizze),
Multiplikation der beiden Funktionen sowie Integration.

Das Produkt ist ebenfalls rechteckförmig mit der Höhe $2 \text{ V} \cdot 300 \; \text{1/s}$ und der Breite $1 \,\text{ms}$. Daraus ergibt sich für die Fläche:

$$y( {t = 1\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$

Das grüne Rechteck verdeutlicht die Berechnung des zweiten Signalwertes. Nun ist das resultierende Rechteck nach der Multiplikation doppelt so breit und man erhält:

$$y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) = 2\;{\rm{V}} \cdot {\rm{300}}\;{1}/{{\rm{s}}} \cdot 2\;{\rm{ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{={\rm{1.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$

(2) Wegen der Symmetrie von ${y(t)}$ bezüglich des Zeitpunktes $t = 2.5\, \text {ms}$ gilt:

$$y( {t = 3\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{1}}{\rm{.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{,}}$$

$$y( {t = 4\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 1\;{\rm{ms}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$

Faltungsergebnis $y(t)$

(3) In den Teilaufgaben (1) und (2) wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet.

Alle Punkte sind durch Geradenstücke zu verbinden, da die Integration über Rechteckfunktionen wachsender Breite einen linearen Verlauf ergibt.
Das heißt: Das Ausgangssignal ${y(t)}$ ist trapezförmig.

Das dazugehörige Spektrum ist komplex und lautet:

$$Y(f) = 6 \cdot 10^{ - 3} \;{{\rm{V}}}/{{{\rm{Hz}}}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {3\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2.5\;{\rm{ms}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi }}f} .$$

Hätte der Eingangsimpuls ${x(t)}$ die Dauer $T = 2\, \text {ms}$, so würde ${y(t)}$ einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen ${t = 0}$ und $t = 4 \text { ms}$ zeigen.
Das Maximum $1.2 \, \text {V}$ ergäbe sich dann nur zum Zeitpunkt $t = 2 \, \text {ms}$.

Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 3.