Exercise 3.7Z: Rectangular Signal with Echo

Sendesignal $s(t)$ & Signal $r(t)$ mit Echo

We consider a periodic square wave signal $s(t)$ with the possible amplitude values $0\text{ V}$ and $2\text{ V}$ and the period duration $T_0 = T = 1 \text{ ms}$. At the jump points, for example at $t = T/4$, the signal value is $1\text{ V}$. The DC component $($also i.e. the Fourier coefficient $A_0)$ of the signal is also $1\text{ V}$.

Further applies:

Due to symmetry (even function), all sine coefficients $B_n = 0$.

The coefficients $A_n$ with even $n$ are also zero.

For odd values of $n$ on the other hand, the following applies:

$$A_n = ( { - 1} )^{\left( {n - 1} \right)/2} \cdot \frac{{4\;{\rm{V}}}}{{n \cdot {\rm{\pi }}}}.$$

The signal $s(t)$ reaches the receiver via two paths (see sketch below):

Once on the direct path and secondly via a secondary path.
The latter is characterised by the attenuation factor $\alpha$ and the transit time $\tau$ .
Therefore, the following applies to the received signal:

$$r(t) = s(t) + \alpha \cdot s( {t - \tau } ).$$ The frequency response of the channel is $H(f) = R(f)/S(f)$, the impulse response is denoted by $h(t)$ .

Hints:

This exercise belongs to the chapter The Convolution Theorem and Operation.
Important information can be found in particular on the page Convolution of a Function With a Dirac Function.

Questions

	For $0 ≤ t < \tau$ $h(t) = 1$ is true, for $t > \tau$ $h(t) = 1 + \alpha$.
	It holds that $h(t) = \delta (t) + \alpha \cdot \delta(t - \tau)$.
	$h(t)$ has a gaussian shape.

$r(t = 0.2 \cdot T)\ = \ $

$\text{V}$

$r(t = 0.3 \cdot T)\ = \ $

$\text{V}$

$r(t = T/2)\ = \ $

$\text{V}$

Musterlösung

Solution

(1) Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag:

Die Impulsantwort ist gleich dem Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein einzelner Diracimpuls zum Zeitpunkt $t = 0$ anliegt:

$$h(t) = \delta (t) + \alpha \cdot \delta( {t - \tau } ).$$

Faltung von Rechtecksignal $s(t)$ und Impulsantwort $h(t)$

(2) Es gilt $r(t) = s(t) ∗ h(t)$. Diese Faltungsoperation lässt sich am einfachsten grafisch ausführen:

Die Werte des Empfangssignals lauten allgemein:

$0.00 < t/T < 0.25\text{:}\hspace{0.4cm} r(t) = +1\hspace{0.02cm}\text{ V}$,
$0.25 < t/T < 0.50\text{:}\hspace{0.4cm} r(t) = -1 \hspace{0.02cm}\text{ V}$,
$0.50 < t/T < 0.75\text{:}\hspace{0.4cm} r(t) = 0 \hspace{0.02cm}\text{ V}$,
$0.75 < t/T < 1.00\text{:}\hspace{0.4cm} r(t) = +2 \hspace{0.02cm}\text{ V}$.

Die gesuchten Werte sind somit

$$r(t = 0.2 \cdot T) \hspace{0.15cm}\underline{= +1 \hspace{0.02cm}\text{ V}},$$

$$r(t = 0.3 · T) \hspace{0.15cm}\underline{= -1 \hspace{0.02cm}\text{ V}}.$$

(3) Bei ähnlicher Vorgehensweise wie unter (2) erhält man für $r(t)$ ein Gleichsignal von $2 \hspace{0.02cm}\text{ V}$:

Die Lücken im Signal $s(t)$ werden durch das Echo $s(t - T/2)$ vollständig aufgefüllt.
Dieses Ergebnis lässt sich auch im Frequenzbereich ableiten.
Der Kanalfrequenzgang lautet mit $\alpha = 1$ und $\tau = T/2$:

$$H( f ) = 1 + 1 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}fT} = 1 + \cos ( {{\rm{\pi }}fT} ) - {\rm{j}} \cdot {\rm{sin}}( {{\rm{\pi }}fT} ).$$

Das Eingangssignal ${s(t)}$ hat außer dem Gleichanteil nur Anteile bei $f = f_0 = 1/T$, $f = 3 \cdot f_0$, $f = 5 \cdot f_0$ usw..
Bei diesen Frequenzen sind aber sowohl der Real– als auch der Imaginärteil von ${H(f)}$ gleich Null.
Damit erhält man für das Ausgangsspektrum mit $A_0 = 1 \text{ V}$ und $H(f = 0) = 2$:

$$R(f) = A_0 \cdot H(f = 0) \cdot \delta (f) = 2\;{\rm{V}} \cdot \delta (f).$$

Die Fourierrücktransformation liefert damit ebenfalls $r(t) \underline{= 2 \text{ V= const}}$.