Exercise 4.2: Triangle Area again

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Dreieckiges 2D-Gebiet und die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten

Wir betrachten die gleiche Zufallsgröße  $(x, \ y)$  wie in der  Aufgabe 4.1:

• In einem durch die Eckpunkte  $(0,\ 1)$, $(4,\ 3)$ und $(4,\ 5)$  definierten Gebiet  $D$  sei die 2D–WDF  $f_{xy} (x, y) = 0.25$.
• Außerhalb dieses in der Grafik rot markierten Definitionsgebietes  $D$  gibt es keine Werte.

Weiterhin sind in der Grafik die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten bezüglich den Größen  $x$  und  $y$  eingezeichnet, die bereits in der Aufgabe 4.1 ermittelt wurden.

Daraus lassen sich mit den Gleichungen des Kapitels  Erwartungswerte und Momente  die Kenngrößen der beiden Zufallsgrößen bestimmen:

$$m_x=8/3 ,\hspace{0.5cm} \sigma_x=\sqrt{8/9},$$

$$ m_y= 3,\hspace{0.95cm} \sigma_y = \sqrt{\rm 2/3}.$$

Aufgrund der Tatsache, dass das Definitionsgebiet  $D$  durch zwei Gerade  $y_1(x)$  und  $y_2(x)$  begrenzt ist, kann hier das gemeinsame Moment erster Ordnung wie folgt berechnet werden.

$$m_{xy}={\rm E}\big[x\cdot y\big]=\int_{x_{1}}^{x_{2}}x\cdot \int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}y \cdot f_{xy}(x,y) \, \,{\rm d}y\, {\rm d}x.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Zweidimensionale Zufallsgrößen.
• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  Erwartungswerte und Momente.

Fragebogen

1

Wie lauten die Grenzgeraden des inneren Integrals zur  $m_{xy}$–Berechnung?

	$y_1(x) = x+1, $     $y_2(x) = 2x+1.$
	$y_1(x) = x/2+1, $     $y_2(x) = x+1.$
	$y_1(x) = x-1, $     $y_2(x) = 2x+1.$

2

Berechnen Sie das gemeinsame Moment  $m_{xy}$  gemäß dem Doppelintegral auf der Angabenseite.  Hinweis:  Setzen Sie  $x_1 = 0$  und  $x_2 = 4$.

$m_{xy} \ = \ $

3

Welcher Wert ergibt sich für die Kovarianz  $\mu_{xy}$ ?

$\mu_{xy}\ = \ $

4

Wie groß ist der Korrelationskoeffizient  $\rho_{xy}$?

$\rho_{xy}\ = \ $

5

Wie lautet die Gleichung der Korrelationsgeraden  $y = K(x)$ ? An welcher Stelle  $y_0$  schneidet die Gerade die  $y$-Achse?
Zeigen Sie, dass die Korrelationsgerade auch durch den Punkt  $(m_x, m_y)$  geht.

$y_0\ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist der mittlere Vorschlag:

• Sowohl  $y_1(x)$  als auch  $y_2(x)$  schneiden die  $y$-Achse bei  $y= 1$.
• Die untere Begrenzungslinie hat die Steigung  $0.5$, die obere die Steigung  $1$.

(2)  Entsprechend den Hinweisen erhalten wir:

$$m_{xy}=\int_{\rm 0}^{\rm 4} x \cdot \int_{\it x/\rm 2 +\rm 1}^{\it x+\rm 1} {1}/{4}\cdot y \, \,{\rm d}y\,\, \, {\rm d}x = {1}/{8}\cdot \int_{\rm 0}^{\rm 4} x\cdot \big[( x+ 1)^{\rm 2}- ({ x}/{2}+1)^{\rm 2} \big] \,\, {\rm d}x.$$

• Dies führt zum Integral bzw. Endergebnis:

$$m_{xy}={1}/{8}\int_{\rm 0}^{\rm 4}(\frac{3}{4}\cdot x^{3}{\rm +} x^2\,{\rm d}x = \rm \frac{1}{8} \cdot (\frac{3}{16}\cdot 4^4+\rm \frac{4^3}{3})=\frac{26}{3}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 8.667}.$$

(3)  Da beide Zufallsgrößen jeweils einen Mittelwert ungleich Null besitzen, folgt für die Kovarianz:

Korrelationsgerade

$$\it \mu_{xy}=\it m_{xy}-m_{x}\cdot m_{y}=\frac{\rm 26}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm 3}\cdot\rm 3={2}/{3} \hspace{0.15cm}\underline{=0.667}.$$

(4)  Mit den angegebenen Streuungen erhält man:

$$\rho_{xy}=\frac{\mu_{xy}}{\sigma_{x}\cdot\sigma_{y}}=\frac{{\rm 2}/{\rm 3}}{\sqrt{{\rm 8}/{\rm 9}}\cdot\sqrt{{\rm 2}/{\rm 3}}}=\sqrt{0.75}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.866}.$$

(5)  Für die Korrelationsgerade (KG) gilt allgemein:

$$ y-m_{y}=\rho_{xy}\cdot\frac{\sigma_{y}}{\sigma_ {x}}\cdot(x-m_{x}).$$

• Mit den oben berechneten Zahlenwerten erhält man

$$y={\rm 3}/{\rm 4}\cdot x +\rm 1.$$

Die Korrelationsgerade schneidet die  $y$-Achse bei $\underline{y=1}$ und geht auch durch den Punkt  $(4, 4)$.  Jedes andere Ergebnis wäre auch nicht zu interpretieren, wenn man das Definitionsgebiet betrachtet:

• Setzt man  $m_x = 8/3$  ein, so erhält man  $y = m_y = 3$.
• Das heißt:   Die berechnete Korrelationsgerade geht tatsächlich durch den Punkt  $(m_x, m_y)$, wie es die Theorie besagt.