Exercise 1.6Z: Ergodic Probabilities

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Binäre Markovkette mit  $A$  und  $B$

Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen  $A$  und  $B$  und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:

Für die Teilaufgaben  (1)  bis  (4)  wird vorausgesetzt:

• Nach dem Ereignis  $A$  folgen  $A$  und  $B$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

• Nach  $B$  ist das Ereignis  $A$  doppelt so wahrscheinlich wie  $B$.

Ab Teilaufgabe  (5)  sind  $p$  und  $q$  als freie Parameter zu verstehen, während die Ereigniswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(A) = 2/3$  und  ${\rm Pr}(B) = 1/3$  fest vorgegeben sind.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Markovketten.

• Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet  Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung  überprüfen.

Fragebogen

1

Wie groß sind die Übergangswahrscheinlichkeiten  $p$  und  $q$?

$p \ = \ $

$q \ = \ $

2

Berechnen Sie die ergodischen Wahrscheinlichkeiten.

${\rm Pr}(A) \ = \ $

${\rm Pr}(B) \ = \ $

3

Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis  $B$  auftritt, wenn zwei Takte vorher das Ereignis  $A$  aufgetreten ist?

${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})\ = \ $

4

Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit, dass zwei Takte vorher das Ereignis  $A$  aufgetreten ist, wenn aktuell  $B$  auftritt?

${\rm Pr}(A_{\nu-2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B_{\nu})\ = \ $

5

Es gelte nun  $p = 1/2$  und  ${\rm Pr}(A) = 2/3$.  Welcher Wert ergibt sich für  $q$?

$q\ = \ $

6

Wie muss man die Parameter wählen, damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich  ${\rm Pr}(A) = 2/3$  gilt?

$p \ = \ $

$q \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Gemäß der Angabe gilt   $p = 1 - p$   ⇒   $\underline{p =0.500}$  und  $q = (1 - q)/2$,   ⇒   $\underline{q =0.333}$.

(2)  Für die Ereigniswahrscheinlichkeit von  $A$  gilt:

$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7} \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$

• Damit ergibt sich  ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.

(3)  Über den Zeitpunkt  $\nu-1$  ist keine Aussage getroffen. 

• Zu diesem Zeitpunkt kann  $A$  oder  $B$  aufgetreten sein. Deshalb gilt:

$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) = p \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p) + q \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p) = {5}/{12} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$

(4)  Nach dem Satz von Bayes gilt:

$${\rm Pr}(A_{\nu -2} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B_{\nu}) = \frac{{\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu -2} ) }{{\rm Pr}(B_{\nu}) } = \frac{5/12 \cdot 4/7 }{3/7 } = {5}/{9} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$

Begründung:

• Die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$  wurde bereits im Unterpunkt  (3)  berechnet.
• Aufgrund der Stationarität gilt  ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$  und  ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$.
• Damit erhält man für die gesuchte Rückschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert  $5/9$.

(5)  Entsprechend der Teilaufgabe  (2)  gilt mit  ${p =1/2}$  für die Wahrscheinlichkeit von  $A$  allgemein:

$${\rm Pr}(A) = \frac{1-q}{1.5 -q}.$$

• Aus  $ {\rm Pr}(A) = 2/3$  folgt somit  $\underline{q =0}$.

(6)  Im Fall der statistischen Unabhängigkeit muss beispielsweise gelten:

$${{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = {{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)} = {{\rm Pr}(A)}.$$

• Daraus folgt  $p = {\rm Pr}(A) \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$  und dementsprechend  $q = 1-p \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.