Exercise 4.15Z: MSK Basic Pulse and MSK Spectrum
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MSK–Grundimpuls und –Spektrum
Der zur Realisierung der MSK mittels Offset–QPSK stets erforderliche Grundimpuls hat die in der Grafik oben dargestellte Form:
- $$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} g_0 \cdot \cos (\pi/2 \cdot t/T) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} | t | \le T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
Darunter gezeichnet ist die Spektralfunktion $G(f)$, also die Fouriertransformierte von $g(t)$.
Die dazugehörige Gleichung soll in dieser Aufgabe ermittelt werden, wobei zu berücksichtigen ist:
- $$g(t) = c(t) \cdot r(t)\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei sind folgende Abkürzungen verwendet:
- $c(t)$ ist eine Cosinusschwingung mit Amplitude $1$ und (noch zu bestimmender) Frequenz $f_0$.
- $r(t)$ ist eine Rechteckfunktion mit der Amplitude $g_0$ und der Dauer $2T$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Nichtlineare digitale Modulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt Realisierung der MSK als Offset-QPSK.
- Das hier gewonnene Ergebnis wird auch in der Aufgabe 4.15 verwendet.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Periodendauer des Cosinussignals muss $T_0 = 4T$ sein. Damit ist die Frequenz $f_0 = 1/T_0\hspace{0.15cm}\underline {= 0.25} · 1/T$.
(2) Die Spektralfunktion eines Rechteckimpulses der Höhe $g_0$ und der Dauer $ 2T$ lautet:
- $$R(f) = g_0 \cdot 2 T \cdot {\rm si} ( \pi f \cdot 2T )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si} (x) = \sin(x)/x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}R(f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 2} \cdot g_0 \cdot T\hspace{0.05cm}.$$
(3) Aus $g(t) = c(t) · r(t)$ folgt nach dem Faltungssatz: $ G(f) = C(f) \star R(f)\hspace{0.05cm}.$
- Die Spektralfunktion $C(f)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $± f_0$, jeweils mit dem Gewicht $1/2$. Daraus folgt:
- $$ G(f) = 2 \cdot g_0 \cdot T \cdot \big [ 1/2 \cdot \delta (f - f_0 ) + 1/2 \cdot \delta (f + f_0 )\big ] \star {\rm si} ( 2 \pi f T )= g_0 \cdot T \cdot \big [ {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f - f_0 ) ) + {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f + f_0 ) ) \big ] \hspace{0.05cm}.$$
- Mit dem Ergebnis $f_0 = 1/(4T)$ der Teilaufgabe (1) gilt weiter:
- $$G(f) = g_0 \cdot T \cdot \big [ {\rm si} ( 2 \pi f T - \pi / 2 ) + {\rm si} ( 2 \pi f T + \pi / 2) \big ]$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f = 0) = g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \big [ {\rm si} ( - \pi/2 ) + {\rm si} ( +\pi/2 ) \big ] = 2 \cdot g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} {\rm si} ( \pi/2 ) = 2 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \frac {{\rm sin}({\pi}/{2}) } { {\pi}/{2} } ={4}/{\pi} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.273} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T .$$
(4) Schreibt man die $\rm si$–Funktion aus, so erhält man mit $\sin (α ± π/2) = ± \cos(α)$:
- $$G(f) = g_0 \cdot T \cdot \left [ \frac{{\rm sin} ( 2 \pi f T - \pi / 2 )}{2 \pi f T - \pi / 2 } + \frac{{\rm sin} ( 2 \pi f T + \pi / 2 )}{2 \pi f T + \pi / 2 } \right ]= g_0 \cdot T \cdot \frac {2}{\pi}\cdot\left [ \frac{-{\rm cos} ( 2 \pi f T )}{4 f T - 1 } + \frac{{\rm cos} ( 2 \pi f T )}{4 f T + 1 } \right ]$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f) = g_0 \cdot T \cdot \frac {2}{\pi}\cdot \frac{(1+4 f T ) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T )+ (1-4 f T ) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 } = \frac {4}{\pi}\cdot g_0 \cdot T \cdot \frac{ {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 }\hspace{0.05cm}.$$
- Die Nullstellen von $G(f)$ werden allein durch die Cosinusfunktion im Zähler bestimmt und würden bei den Frequenzen $f · T = 0.25,\ 0.75,\ 1.25,$ ... liegen.
- Allerdings wird die erste Nullstelle bei $f · T = 0.25$ durch die gleichzeitige Nullstelle des Nenners aufgehoben. Deshalb gilt:
- $$f_1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75} \cdot 1/T \hspace{0.05cm}.$$
