Exercise 3.8: Rate Compatible Punctured Convolutional Codes

RCPC–Punktierungsmatrizen

Eine wichtige Anwendung für punktierte Faltungscodes sind die Rate Compatible Punctured Convolutional Codes (oder kurz RCPC–Codes), die von Joachim Hagenauer in [Hag88] vorgeschlagen wurden. Ausgehend von einem Muttercode $\mathcal{C}_0$ mit der Rate $R_0 = 1/n$ werden durch verschiedene Punktierungsmatrizen $\mathbf{P}_l$ andere Codes $\mathcal{C}_l$ mit höherer Coderate $(R_l > R_0)$ festgelegt.

Rechts sind die zu analysierenden Punktierungsmatrizen $\mathbf{P}_0, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm} , \ \mathbf{P}_4$ dargestellt.

Ist bei der Matrix $\mathbf{P}_l$ das Matrixelement $P_{ij} = 1$, so wird das entsprechende Codebit übertragen, während $P_{ij} = 0$ auf eine Punktierung hinweist.
Im Fragebogen verwenden wir für das Element $P_{ij}$ der Matrix $\mathbf{P}_l$ auch die kürzere Schreibweise $P_{ij}^{(l)}$.

In der Grafik sind alle die Nullen in der Matrix $\mathbf{P}_l$ rot markiert, die in der Matrix $\mathbf{P}_{l–1}$ noch Einsen waren. Durch diese Maßnahme wird die Coderate $R_{l}$ gegenüber $R_{l-1}$ vergrößert.

Die RCPC–Codes eignen sich gut zur Realisierung von

ungleichem Fehlerschutz für hybride ARQ–Verfahren,
Systemen mit inkrementeller Redundanz.

Unter „Systemen mit inkrementeller Redundanz” versteht man, dass nach der herkömmlichen Faltungscodierung aus dem Codewort $\underline{x}^{(0)}$ Bits entsprechend der Punktierungsmatrix $\mathbf{P}_l$ weggelassen werden und das verkürzte Codewort $\underline{x}^{(l)}$ übertragen wird:

Kann das punktierte Codewort im Empfänger nicht korrekt decodiert werden, fordert der Empfänger vom Sender weitere Redundanz in Form der zuvor auspunktierten Bits an.
Somit wird die Übertragung von nicht benötigter Redundanz verhindert und der Durchsatz an die Kanalgegebenheiten angepasst.

Joachim Hagenauer

Hinweise:

Die Aufgabe bezieht sich auf den Abschnitt Punktierte Faltungscodes im Kapitel „Codebeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm”.

Die Literaturstelle [Hag88] verweist auf das Paper „Hagenauer, J.: Rate Compatible Punctured Convolutional Codes (RCPC codes) and their Applications. In: IEEE Transactions on Communications, vol COM-36, S. 389 - 400, 1988”.
Professor Joachim Hagenauer war von 1993 bis 2006 Leiter des Lehrstuhls für Nachrichtentechnik (LNT) der Technischen Universität München.
Die Initiatoren des von Ihnen gerade genutzten Lerntutorials – Günter Söder und Klaus Eichin – danken ihrem langjährigen Chef für die Unterstützung und Förderung unseres $\rm LNTwww$–Projekts während der ersten sechs Jahre.

Fragebogen

	Die Rate des RCPC–Muttercodes ist $R_0 = 1/3$.
	Die Punktierungsperiode ist $p = 8$.
	Das Gedächtnis der RCPC–Codeklasse ist $M = 4$.

${\rm Matrix \ P_1} \Rightarrow {\rm Code \ \mathcal{C}_1} \text{:} \hspace{0.4cm} R_1 \ = \ $

${\rm Matrix \ P_2} \Rightarrow {\rm Code \ \mathcal{C}_2} \text{:} \hspace{0.4cm}R_2 \ = \ $

${\rm Matrix \ P_3} \Rightarrow {\rm Code \ \mathcal{C}_3} \text{:} \hspace{0.4cm} R_3 \ = \ $

${\rm Matrix \ P_4} \Rightarrow {\rm Code \ \mathcal{C}_4} \text{:} \hspace{0.4cm} R_4 \ = \ $

	Aus $P_{ij}^{(l)} = 1$ folgt $P_{ij}^{(\lambda)} = 1$ für alle $\lambda < l$.
	Aus $P_{ij}^{(l)} = 1$ folgt $P_{ij}^{(\lambda)} = 1$ für alle $\lambda > l$.
	Aus $P_{ij}^{(l)} = 0$ folgt $P_{ij}^{(\lambda)} = 0$ für alle $\lambda < l$.
	Aus $P_{ij}^{(l)} = 0$ folgt $P_{ij}^{(\lambda)} = 0$ für alle $\lambda > l$.

Musterlösung

Solution

(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

Die Zeilenzahl der Punktierungsmatrizen gibt den Parameter $n$ des $(n, \ k = 1)$–RCPC–Muttercodes an.
Daraus ergibt sich dessen Rate zu $R_0 = 1/3$. Die Spaltenzahl ist gleich der Punktierungsperiode $p$. Bei der betrachteten Codeklasse gilt $p = 8$.
Dagegen liefern die Punktierungsmatrizen keine Aussagen über das Gedächtnis des Codes ⇒

(2) Für die Rate des Codes $\mathcal{C}_l = p/N_l$, wobei $N_l$ die Anzahl aller Einsen in der Punktierungsmatrix $\mathbf{P}_l$ und $p$ die Punktierungsperiode bezeichnet. Ausgehend von der Rate $R_0 = 1/3$ des Muttercodes $\mathcal{C}_0$ erhält man:

$R_1 = 8/20 = 2/5 = \underline{0.400}$,
$R_2 = 8/16 = 1/2 = \underline{0.500}$,
$R_3 = 8/12 = 2/3 = \underline{0.667}$,
$R_4 = 8/9 = \underline{0.889}$.

(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

Alle Einsen in der Matrix $\mathbf{P}_4$ sind auch in den darüber liegenden Matrizen $\mathbf{P}_3, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, \ \mathbf{P}_0$ enthalten.
In der Matrix $\mathbf{P}_3$ kommen gegenüber $\mathbf{P}_4$ drei Einsen hinzu, in der Matrix $\mathbf{P}_2$ gegenüber $\mathbf{P}_3$ nochmals vier, usw.