Exercise 2.6: Cyclic Prefix

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$\rm DSL/DMT$  mit
zyklischem Präfix

Ein wesentlicher Vorteil von  $\rm DSL/DMT$  ist die einfache Entzerrung von Kanalverzerrungen durch die Einfügung eines Guard–Intervalls und eines zyklischen Präfix. Die Grafik zeigt ein vereinfachendes Blockschaltbild, wobei die zur Entzerrung des Kanalfrequenzgangs

$$H_{\rm K}(f) \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm K}(t)$$

erforderlichen Komponenten rot hervorgehoben sind.

Für den  $\rm ADSL/DMT$–Downstream gelten folgende Parameter:

• Mit jedem Rahmen werden die Subkanäle  $k = 64$, ... , $255$  bei den Trägerfrequenzen  $f_k = k \cdot f_0$  mit den QAM–Symbolen  $D_k$  belegt. Wegen der Reservierung der untersten Frequenzen für ISDN und für den Upstream gilt  $D_0 =$ ... $= D_{63} = 0$.

• Die Grundfrequenz ist zu  $f_0 = 4.3125 \ \rm kHz$  gewählt und die Rahmendauer beträgt  $T = 1/f_0 \approx 232 \ {\rm µ s}$. Diese Werte ergeben sich aus der Forderung, dass pro Sekunde $4000$ Rahmen übertragen werden sollen und nach jedem $68$–ten Rahmen ein Synchronisationsrahmen eingefügt wird.

• Nach Belegung der oberen Koeffizienten  $(k = 257$, ... , $448)$  gemäß  $D_k = D_{512-k}^{\ast}$  wird der gesamte Block  $D_0$, ... , $D_{511}$  einer Inversen Diskreten Fouriertransformation  $\rm (IDFT)$  zugeführt. Die Zeitkoeffizienten sind dann  $s_0$, ... , $s_{511}$.

• Um Impulsinterferenzen – auch Inter–Symbol–Interferenzen  $\rm (ISI)$  genannt – zwischen benachbarten Rahmen zu vermeiden, wird zwischen zwei Rahmen ein Schutzabstand („Guard–Intervall”) der Dauer  $T_{\rm G}$  eingefügt. Der Rahmenabstand muss dabei mindestens so groß sein wie die „Länge"  $T_{\rm K}$  der Impulsantwort.

• Zudem werden die IDFT–Ausgangswerte  $(s_{480}$, ... , $s_{511})$  dupliziert, als  $(s_{-32}$, ... , $s_{-1})$  dem Ausgangsvektor  $(s_0$, ... , $s_{511})$  vorangestellt und im Guard–Intervall übertragen. Man nennt dies das „zyklische Präfix”. Somit stören sich auch die Subträger eines Rahmens nicht, das heißt, es gibt nicht nur keine  $\rm ISI$, sondern auch keine Inter–Carrier–Interferenzen  $\rm (ICI)$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Verfahren zur Senkung der Bitfehlerrate bei DSL.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Einfügen von Guard–Intervall und zyklischem Präfix.
• Im Fragebogen bezeichnet  $s_k(t)$ den  (zeitkontinuierlichen) Signalverlauf, wenn allein der Koeffizient  $D_k$  des Trägers bei  $f_k = k \cdot f_0$  von Null verschieden ist.

Fragebogen

1

Wie groß ist die Dauer  $T_{\rm G}$  des Guard–Intervalls zu wählen?

$T_{\rm G} \ = \ $ $ \ \rm µ s$

2

Welche Ausdehnung  $(T_{\rm K, \ max} )$  darf die Kanalimpulsantwort  $h_{\rm K}(t)$  haben, damit es keine Intersymbolinterferenzen gibt?

$T_{\rm K, \ max} \ = \ $ $ \ \rm µ s$

3

Welche Eigenschaften besitzt das DMT–System mit zyklischem Präfix? Der Einfluss des Rauschens soll hier unberücksichtigt bleiben.

	Alle Spektralkoeffizienten nach der DFT  $(D_k\hspace{0.01cm}')$  sind gleich  $D_k$.
	Die Koeffizienten nach Entzerrung  $(\hat{D}_k)$  sind gleich  $D_k$.
	Das Guard–Intervall hat keine Auswirkung auf die Datenrate.

4

Was wäre, wenn man das Guard–Intervall unbelegt lässt?

	Das würde nichts verbessern.
	Daten verschiedener Rahmen stören sich nicht gegenseitig.
	Daten innerhalb eines Rahmens stören sich nicht gegenseitig.

5

Auf welchem Prinzip beruht das zyklische Präfix?

	Der Einfluss von  $h_K(t)$  wird auf den Bereich  $t < 0$  begrenzt.
	Für  $0 ≤ t ≤ T$  stellt  $s_k(t)$  eine harmonische Schwingung dar.
	$h_{\rm K}(t)$  hat keinen Einfluss auf Betrag und Phase von  $s_k(t)$.

Musterlösung

Solution

(1)  Innerhalb des Guard–Intervalls müssen beim Sender $32$ zusätzliche Abtastwerte $s_{-32}$, ... , $s_{-1}$ eingefügt werden. Damit gilt:

$$T_{\rm G} = \frac{32}{512} \cdot T = \frac{232\,{\rm µ s}}{16} \hspace{0.15cm}\underline{= 14.5\,{\rm µ s} }\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Intersymbolinterferenzen (ISI) und Intercarrierinterferenzen (ICI) werden vermieden, so lange die Länge $T_{\rm K}$ der Kanalimpulsantwort nicht größer ist als die Länge $T_{\rm G}$ des Guard–Intervalls:

$$T_{\rm K,\hspace{0.08cm} max} \le T_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline{= 14.5\,{\rm µ s}} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2.

• Für die Ausgangskoeffizienten der DFT gilt im rauschfreien Fall:

$$D_k\hspace{0.01cm}' = D_k \cdot H_{\rm K} ( f = f_k), \hspace{0.2cm} f_k = k \cdot f_0 \hspace{0.05cm}.$$

• Die einzelnen Subkanäle können einzeln durch Multiplikation mit $H_{\rm K}^{-1}(f = f_k)$ entzerrt werden. Damit gilt für alle $k = 1$, ... , $K$:

$$\hat{D}_k = D_k \hspace{0.05cm}.$$

• Aussage 3 ist falsch: Die Rate ist vielmehr um den Faktor $T/(T + T_{\rm G}) = 16/17$ geringer als ohne Guard–Intervall und zyklischem Präfix.
• Dieser geringe Verlust wird aber gerne in Kauf genommen, da die einfache Entzerrung diesen Nachteil mehr als ausgleicht.

(4)  Richtig ist hier nur der Lösungsvorschlag 2:

• Nicht verhindert würden dadurch so genannte Inter–Carrier–Interferenzen, das heißt, die Subträger eines Rahmens wären dann nicht mehr orthogonal zueinander, da die Faltung der zeitlich auf $T$ begrenzten harmonischen Schwingung mit der Impulsantwort keine si–Funktion ergibt, wie dies bei idealem Kanal der Fall ist.
• Damit beeinflusst der Koeffizient $D_k$ bei $k \cdot f_0$ auch die Spektralwerte bei $\kappa \cdot f_0$ in der Umgebung $(\kappa \neq k)$.

(5)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

• Betrag und Phase von $s_k(t)$ wird sehr wohl durch $h_{\rm K}(t)$ verändert, und zwar entsprechend dem Wert $H_{\rm K}(f = f_k)$ des Frequenzgangs.
• Durch den Entzerrer auf der Empfängerseite lässt sich dieser Fehler aber in einfacher Weise (und unabhängig von den anderen Subkanälen) korrigieren.