Exercise 1.1: A Special Dice Game

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A1.1 Würfelspiel Mäxchen

Zum Würfelspiel "Mäxchen"

Beim Würfelspiel "Mäxchen" wird jeweils mit zwei Würfeln geworfen. Die höhere Augenzahl der beiden Würfel wird mit  $10$  multipliziert und dann die niedrigere Augenzahl dazu addiert. Beispielsweise liefert eine „2“ und eine „4“ das Spielresultat  $42$  und eine „5“ und eine „6“ das Ergebnis  $65$. Das kleinstmögliche Resultat eines Wurfes ist somit  $31$. Weiter gelten folgende Regeln:

• Ein "Pasch"  (zweimal die gleiche Augenzahl)  wird im Allgemeinen höher bewertet als zwei ungleiche Würfel.
• So ist ein "Einser-Pasch" höher als  $65$, aber niedriger als jeder andere Pasch.
• Eine Sonderstellung nimmt bei diesem Spiel das "Mäxchen"  (eine „1” und eine „2”)  ein. Diese im Bild dargestellte Kombination steht noch über dem Sechser-Pasch.

Der Spieler  $X$  beginnt.  Er gewinnt, wenn der Spieler  $Y$  das vorgelegte Resultat nicht überbieten kann.  Die weiteren vielfältigen Optionen dieses Spiels werden hier nicht berücksichtigt.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

• Die Musterlösung ist in einem  Kurzvideo  zusammengefasst.

Fragebogen

1

Haben  $X$  und  $Y$  gleiche Gewinnchancen?  Wenn Sie der Meinung sind, dass das Spiel unfair ist:  Wie könnte man das Spiel fair gestalten?

	Die Spieler  $X$  und  $Y$  haben gleiche Chancen.
	Der Spieler  $X$  ist im Vorteil.
	Der Spieler  $Y$  ist im Vorteil.

2

Wieviele unterschiedliche Resultate  $(I)$  sind bei diesem Spiel möglich?

$I \ =\ $

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser-Pasch?

$\rm Pr\big[Sechser-Pasch\big]\ =\ $

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man "irgendeinen" Pasch würfelt?

$\rm Pr\big[irgendein \;Pasch\big]\ =\ $

5

Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfelt ein Spieler ein "Mäxchen"?

$\rm Pr\big[Mäxchen\big]\ =\ $

6

Der Spieler  $X$  hat eine „3” und eine „5” vorgelegt. Wie groß ist unter dieser Annahme die Gewinnchance von Spieler  $Y$?

${\rm Pr}\big[Y\; {\rm gewinnt}\big]\ =\ $

7

Welches Spielergebnis  $R_{\rm \min}$  muss der Spieler  $X$  mindestens erzielen, damit er eine größere Gewinnchance als  $75\%$  hat?

$R_{\rm \min}\ =\ $

Musterlösung

Solution

(1)  Der Spieler  $X$  ist im Vorteil, da ihn der Spieler  $Y$  überbieten muss.  Das Spiel wäre zum Beispiel dann fair, wenn es bei exakt gleichen Würfen als "Unentschieden" gewertet würde.  Über einen längeren Zeitraum werden sich allerdings auch dann gleiche Gewinnchancen ergeben, wenn  $X$  und  $Y$  abwechselnd beginnen.

(2)  Es sind  $\underline{I = 21}$  verschiedene Resultate möglich.  Diese sind (beim niedrigsten beginnend):

$$31, 32, 41, 42, 43, 51, 52, 53, 54, 61, 62, 63, 64, 65, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 21.$$

(3)  Die  $21$  möglichen Resultate dieses Würfelspiels sind allerdings nicht gleichwahrscheinlich, deshalb können die Wahrscheinlichkeiten auch nicht nach der klassischen Definition  $($das Ergebnis wäre  $1/21)$  ermittelt werden.

• Macht man zumindest gedanklich eine Unterscheidung zwischen den Würfeln, zum Beispiel durch einen blauen  $(B)$  und einen roten  $(R)$  Würfel, so gibt es  $6^{2} = 36$  gleichwahrscheinliche Ereignisse, unter Anderem das Ereignis  ${\rm Pr\big[Sechser-Pasch\big]} = (B = 6) \cap (R = 6)$.
• Bei beiden Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit für eine „6“ gleich  $1/6$. Da die Augenzahlen der beiden Würfel natürlich statistisch unabhängig sind, ist

$${\rm Pr\big[Sechser-Pasch\big] = Pr}(B = 6 \cap R = 6) = 1/36 \;\underline{= 0.0278}.$$

"Anmerkung":   Aus der Namensgebung "Resultat" könnte man fälschlicherweise schließen, dass es sich hierbei um ein Ergebnis handelt. Entsprechend den Definitionen in diesem Kapitel ist das Resultat aber als ein Ereignis (Zusammenfassung von Ergebnissen) zu betrachten.

(4)  Diese Wahrscheinlichkeit kann mit  $K = 6$  und  $M = 36$  wie folgt angegeben werden:

$${\rm Pr\big[irgendein \ Pasch\big] = Pr}(B = R) = K/M = 1/6 \; \underline{= 0.1667}.$$

(5)  Analog ist die Wahrscheinlichkeit für das Mäxchen mit  $K = 2$  und  $M = 36$  berechenbar:

$${\rm Pr\big[Mäxchen\big] = Pr}(B = 1 \cap R = 2) + {\rm Pr}(b = 2 \cap R = 1) = 1/18 \; \underline{= 0.0556}.$$

(6)  Die Wahrscheinlichkeit, dass  $Y$  gewinnt, wenn  $X$  die „53” vorgelegt hat, ist  $5/9\; \underline{\approx 0.555}$.
Die Musterlösung dieser Teilaufgabe ist in einem  $\rm Kurzvideo$  zusammengefasst.

(7)  Zur Lösung der letzten Teilaufgabe gehen wir wieder von einer zweidimensionalen Darstellung aus und reihen die Matrixelemente entsprechend ihren Wertigkeiten (siehe Grafik). Daraus ist zu ersehen:

• Mit der Vorgabe  „$65$”  lässt man dem Gegenspieler nur eine Gewinnchance von  $8/36 = 0.222$.
• Damit ist die eigene Gewinnchance etwa  $77.8\%$.
• Mit  „$64$”  wäre die Gewinnchance von Spieler  $X$  dagegen nur ca.  $72.2\%$.
• Die richtige Lösung ist somit  $R_\min\; \underline{ = 65}$.