Exercise 5.2Z: About PN Modulation

Modelle von PN–Modulation (oben) und BPSK (unten)

Die Grafik zeigt das Ersatzschaltbild der $\rm PN$–Modulation $($englisch: Direct Sequence Spread Spectrum, abgekürzt $\rm DS–SS)$ im äquivalenten Tiefpassbereich, wobei AWGN–Rauschen $n(t)$ zugrunde liegt. Darunter dargestellt ist das Tiefpass–Modell der binären Phasenmodulation $\rm (BPSK)$.

Das Tiefpass–Sendesignal $s(t)$ ist aus Gründen einheitlicher Darstellung gleich dem rechteckförmigen Quellensignal $q(t) ∈ \{+1, –1\}$ mit Rechteckdauer $T$ gesetzt.

Die Funktion des Integrators kann wie folgt beschrieben werden:

$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Modelle unterscheiden sich durch die Multiplikation mit dem $±1$–Spreizsignal $c(t)$ bei Sender und Empfänger, wobei von $c(t)$ lediglich der Spreizgrad $J$ bekannt ist.

Zu untersuchen ist, ob sich das untere BPSK–Modell auch bei PN–Modulation anwenden lässt und ob die BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$

auch für die PN–Modulation gültig ist, bzw. wie die angegebene Gleichung zu modifizieren ist.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel PN–Modulation.
Für die Lösung dieser Aufgabe ist die Angabe der spezifischen Spreizfolge $($M–Sequenz oder Walsh–Funktion$)$ nicht von Bedeutung.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Richtig ist der letzte Lösungsvorschlag:

Es handelt sich hier um einen optimalen Empfänger.
Ohne Rauschen ist das Signal $b(t)$ innerhalb eines jeden Bits konstant gleich $+1$ oder $-1$.
Aus der angegebenen Gleichung für den Integrator

$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t $$

folgt, dass $d(νT)$ nur die Werte $+1$ und $-1$ annehmen kann.

(2) Richtig ist wieder der letzte Lösungsvorschlag:

Im rausch– und störungsfreien Fall ⇒ $n(t) = 0$ kann auf die zweifache Multiplikation mit $c(t) ∈ \{+1, –1\}$ verzichtet werden,
so dass das obere Modell mit dem unteren Modell identisch ist.

(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

Da beide Modelle im rauschfreien Fall identisch sind, muss nur das Rauschsignal angepasst werden: $n'(t) = n(t) · c(t)$.
Die beiden anderen Lösungsvorschläge sind dagegen nicht zutreffend:
Die Integration muss weiterhin über $T = J · T_c$ erfolgen und die PN–Modulation verringert das AWGN–Rauschen nicht.

(4) Richtig ist der letzte Lösungsvorschlag:

Multipliziert man das AWGN–Rauschen mit dem hochfrequenten $±1$–Signal $c(t)$, so ist auch das Produkt gaußförmig und weiß.
Wegen ${\rm E}\big[c^2(t)\big] = 1$ wird auch die Rauschvarianz nicht verändert.
Die für BPSK gültige Gleichung $p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt {{2 E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$ ist somit auch bei der PN–Modulation anwendbar und zwar unabhängig vom Spreizfaktor $J$ und von der spezifischen Spreizfolge.
Ergo: Bei AWGN–Rauschen wird die Fehlerwahrscheinlichkeit durch Bandspreizung weder vergrößert noch verkleinert.

	$d(νT)$ kann gaußverteilt sein.
	$d(νT)$ kann die Werte $+1$, $0$ und $-1$ annehmen.
	Es sind nur die Werte $d(νT) = +1$ und $d(νT) = -1$ möglich.

	Das Rauschen $n(t)$ muss durch $n'(t) = n(t) · c(t)$ ersetzt werden.
	Die Integration muss nun über $J · T$ erfolgen.
	Die Rauschleistung $σ_n^2$ muss um den Faktor $J$ vermindert werden.

	Je größer $J$ gewählt wird, desto kleiner ist $p_{\rm B}$.
	Je größer $J$ gewählt wird, desto größer ist $p_{\rm B}$.
	Es ergibt sich unabhängig von $J$ stets der Wert $p_{\rm B} ≈ 2.3 · 10^{–3}$.