Exercise 1.3Z: Winning with Roulette?

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Considered betting situation

In roulette, a winning number  $Z$  is determined in each game by means of a ball and a roulette wheel, where we want to assume that all possible numbers  $Z \in \{0, 1, 2, \ \text{...} \ , 36 \}$  are equally probable.

The players can now bet on a single number or on a group of numbers with chips of different value.  Some of the possibilities and the corresponding winnings will be briefly explained here on the basis of the chips bet by a player (see graph):

• If a player bets on a number (in the example on "0"), he would get back  $35$ times his stake as winnings.

• If a player bets on a group of numbers with three fields (in the example, the 1-euro chip for the numbers from "22" to "24"), he would receive  $ 11$ times his stake as winnings in addition to his bet.

• If a player bets on a group of numbers with  $ 18$  fields (for example, the 10-euro chips on "Rouge", on "Impair" and on "Passe"), he will receive the same amount back as winnings in addition to his bet.
• If the number drawn does not belong to one of the squares he occupies, his bet is lost.

Hints:

• The exercise belongs to the chapter  Set Theory Basics.

• Enter any losses as negative winnings in the following questions.
• The topic of this chapter is illustrated with examples in the (German language) learning video Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten $\Rightarrow$ Set Theoretical Concepts and Laws.

Questions

1

A player simultaneously places one 1-euro chip on each of the squares „0“, „Rot“ und „Schwarz“.  Wie groß ist sein mittlerer Gewinn pro Spiel?

$G_1 \ =\ $ $\ \rm Euro$

2

Wieviel gewinnt er im Mittel pro Spiel, wenn er stets je  $1$  Euro auf „Rot“ und „Schwarz“ setzt?

$G_2 \ =\ $ $\ \rm Euro$

3

Wieviel gewinnt er im Mittel pro Spiel, wenn er stets  $1$  Euro auf „0“ und  $10$  Euro auf „Rot“ setzt?

$G_3 \ =\ $ $\ \rm Euro$

4

Der Spieler setzt wie im Bild gezeigt.   Auf welche Zahl  $Z_{\rm Wunsch}$  sollte er hoffen?  Wie groß wäre dann sein Gewinn?

$Z_{\rm Wunsch} \ = \ $

$G_4 \ =\ $ $\ \rm Euro$

5

Gibt es eine Setzkombination, so dass der mittlere Gewinn positiv ist?

	Ja   ⇒   Studium beenden, in die nächste Spielbank gehen.
	Nein   ⇒   Weitermachen mit $\rm LNTwww$.

Musterlösung

Solution

(1)  Der Spieler verliert jeweils einen Euro, wenn eine der Zahlen  $1$  bis  $36$  gezogen wird.

• Er gewinnt  $33$  Euro, wenn tatsächlich die  $0$  getroffen wird. Daraus folgt:

$$G_1 =\rm {36}/{37}\cdot (-1\hspace{0.1cm} Euro) + {1}/{37}\cdot (33\hspace{0.1cm} Euro) \hspace{0.15cm}\underline {= - 0.081\hspace{0.1cm} Euro\hspace{0.1cm}(Verlust)}.$$

(2)  Der Spieler gewinnt und verliert nichts, wenn nicht die Null gezogen wird.  Erscheint die Null, so verliert er seinen Einsatz:

$$G_2 = \rm {1}/{37}\cdot (-2\hspace{0.1cm} Euro)\hspace{0.15cm}\underline { = -0.054 \hspace{0.1cm}Euro \hspace{0.1cm}(Verlust)}.$$

(3)  Kommt "Rot", so gewinnt er neun Euro.

• Kommt die Null, gewinnt er effektiv  $25$  Euro.
• Wird "Schwarz" gezogen, so verliert er seinen gesamten Einsatz von  $11$  Euro:

$$G_3 = \rm {18}/{37}\cdot (10 -1) + {1}/{37}\cdot (35-10) + {18}/{37}\cdot (-10-1)\hspace{0.15cm}\underline { = - 0.297\hspace{0.1cm}Euro}.$$

(4)  Den höchsten Gewinn erzielt er bei  $Z_{\rm Wunsch} \; \underline{ = 23} $.  Dann gewinnen vier seiner fünf Chips:

$$G_4 = \rm 10\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm} Rot ) + 10\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm} Passe) + 10\hspace{0.1cm}(da \hspace{0.1cm} Impair) + \rm 11\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm}zwischen \hspace{0.1cm}22\hspace{0.1cm} und \hspace{0.1cm}24) - 1 \hspace{0.1cm}(da \hspace{0.1cm}nicht \hspace{0.1cm}0) \hspace{0.15cm}\underline {= 40 \hspace{0.1cm}Euro}.$$

• Kommt dagegen die Null, so gewinnt er lediglich  $\rm 35 - 31 = 4 \ Euro$.

(5)  Nein, leider nicht.  Im statistischen Mittel gewinnt immer die Bank.