Exercise 3.7: Bit Error Rate (BER)

Zur Verdeutlichung der Bitfehlerquote

Wir betrachten ein binäres Übertragungssystem mit

der Quellensymbolfolge $\langle q_\nu \rangle $ und
der Sinkensymbolfolge $\langle v_\nu \rangle $.

Stimmen Sinkensymbol $v_\nu$ und Quellensymbol $q_\nu$ nicht überein, so liegt ein Bitfehler vor ⇒ $e_\nu = 1$.
Ansonsten gilt $e_\nu = 0$.

$\rm (A)$ Das wichtigste Beurteilungskriterium eines solchen Digitalsystems ist

die Bitfehlerwahrscheinlichkeit (englisch: Bit Error Probability).

Mit dem Erwartungswert ${\rm E}\big[\text{ ...} \big]$ ist diese ist wie folgt definiert:

$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu} \rm )\big]=\rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1).$$

Der rechte Teil dieser Gleichung beschreibt eine Zeitmittelung; diese muss zum Beispiel bei zeitvarianten Kanälen stets angewandt werden.
Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit für alle Symbole gleich (was hier vorausgesetzt wird), so kann man die obige Gleichung vereinfachen:

$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\rm E\big[\it e_{\nu} \rm \big].$$

Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine A-priori-Kenngröße, erlaubt also eine Vorhersage für das zu erwartende Resultat.

$\rm (B)$ Dagegen muss zur messtechnischen Ermittlung der Übertragungsqualität oder bei der Systemsimulation auf

die vergleichbare A-posteriori-Kenngröße Bitfehlerquote (englisch: Bit Error Rate) übergegangen werden:

$$h_{\rm B}=\frac{n_{\rm B}}{N}=\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu}.$$

$h_{\rm B}$ ist eine relative Häufigkeit. $n_{\rm B}$ gibt die Anzahl der aufgetretenen Bitfehler an, wenn insgesamt $N$ Symbole (Bit) übertragen wurden.

Im Grenzfall $N \to \infty$ stimmt die relative Häufigkeit $h_{\rm B}$ mit der Wahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ überein.
Hier soll nun die Frage geklärt werden, mit welcher statistischen Unsicherheit bei endlichem $N$ gerechnet werden muss.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gaußverteilte Zufallsgrößen.

Lösen Sie die Aufgaben so weit wie möglich allgemein.
Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$.
Nachfolgend finden Sie einige Werte der sogenannten Q-Funktion:

$$\rm Q(\rm 1.00)=\rm 0.159,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.65)=\rm 0.050,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.96)=\rm 0.025,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 2.59)=\rm 0.005.$$

Fragebogen

	Für $n_{\rm B}$ sind alle Werte $(0$, ... , $N)$ gleichwahrscheinlich.
	Die Zufallsgröße $n_{\rm B}$ ist binomialverteilt.
	Mit $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$ ergibt sich ${\rm E}\big[n_{\rm B}\big] = 100$.

$\sigma_{n{\rm B}} \ = \ $

$\sigma_{h{\rm B}} \ = \ $

	${\rm Pr}(\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}h_{\rm B} - p_{\rm B}\hspace{0.05cm}\| \le \varepsilon)=1- 2\cdot \rm Q({\varepsilon}/{\sigma_{{\it h}{\rm B}}}).$
	${\rm Pr}(\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}h_{\rm B} - p_{\rm B}\hspace{0.05cm}\| \le \varepsilon)=1- \rm Q({\varepsilon}/{2\cdot \sigma_{{\it h}{\rm B}}}).$

$p_\varepsilon \ = \ $

$\alpha_{\rm min} \ = \ $

$N_\text{min} \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1) Die beiden letzten Aussagen stimmen:

Bezüglich der Zufallsgröße $n_{\rm B}$ liegt der klassische Fall einer Binomialverteilung vor.
Es wird die Summe über $N$ binäre Zufallsgrößen gebildet.
Die möglichen Werte von $n_{\rm B}$ liegen somit zwischen $0$ und $N$.
Der lineare Mittelwert ergibt $m_{n{\rm B}}=p_{\rm B}\cdot N=\rm 10^{-3}\cdot 10^{5}=\rm 100.$

(2) Für die Streuung der Binomialverteilung gilt mit guter Näherung:

$$\sigma_{n{\rm B}}=\sqrt{N\cdot p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B}{\rm )}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 10}.$$

(3) Mögliche Werte von $h_{\rm B}$ sind alle ganzzahligen Vielfachen von $1/N$. Diese liegen alle zwischen $0$ und $1$.

Für den Mittelwert erhält man:

$$m_{h{\rm B}}=m_{n{\rm B}}/N=p_{\rm B} = 10^{-3}.$$

Die Streuung ergibt sich zu

$$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{ p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B}{\rm )}}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.0001}.$$

(4) Richtig ist der erste Vorschlag. Es gilt:

$${\rm Pr}(h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}),$$

$$\rm Pr(\it h_{\rm B} < p_{\rm B} - \varepsilon {\rm )}=\rm Q(\it{\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}{\rm )}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.5cm}\rm Pr(\it |h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon \rm )=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q({\it \varepsilon}/{\it \sigma_{h{\rm B}}}).$$

(5) Man erhält mit den Zahlenwerten $\varepsilon = \sigma_{h{\rm B}} = 10^{-4}$:

$$p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q(\frac{\rm 10^{\rm -4}}{\rm 10^{\rm -4}} {\rm )}=\rm 1-\rm 2\cdot\rm Q(\rm 1)\hspace{0.15cm}\underline{\approx\rm 0.684}.$$

In Worten:

Bestimmt man die Bitfehlerquote per Simulation über $10^5$ Symbole,
so erhält man mit einem Konfidenzniveau von $\underline{68.4\%}$ einen Wert zwischen $0.9 \cdot 10^{-3}$ und $1.1 \cdot 10^{-3}$,
wenn $p_{\rm B} = 10^{-3}$ ist.

(6) Aus der Beziehung $p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot {\rm Q}(\alpha) = 0.95$ folgt direkt:

$$\alpha_{\rm min}=\rm Q^{\rm -1}\Big(\frac{\rm 1-\it p_{\varepsilon}}{\rm 2}\Big)=\rm Q^{\rm -1}(\rm 0.025)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.96}\hspace{0.15cm}{\approx\rm 2}.$$

(7) Es muss $\alpha = \varepsilon/\sigma_{h{\rm B}}$ gelten. Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) folgt dann:

$$\frac{\varepsilon}{\sqrt{p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})/N}}\ge {\rm 2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} N\ge \frac{\rm 4\cdot \it p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})}{\varepsilon^{\rm 2}}\approx \frac{\rm 4\cdot 10^{-3}}{10^{-8}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 400\hspace{0.08cm}000}.$$