Exercise 1.4: Nyquist Criteria

Rechteckförmiges Nyquistspektrum

Durch die Skizze gegeben ist das Spektrum $G(f)$ des Detektionsgrundimpulses, wobei der Parameter $A$ noch zu bestimmen ist. Überprüft werden soll unter anderem, ob dieser Detektionsgrundimpuls eines der beiden Nyquistkriterien erfüllt. Diese lauten:

Das erste Nyquistkriterium ist erfüllt, wenn für die Spektralfunktion gilt:

$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f - {k}/{T} ) = {\rm const.}$$

In diesem Fall besitzt der Impuls $g(t)$ für alle ganzzahligen Werte von $ν$ mit Ausnahme von $ν = 0$ Nulldurchgänge bei $t = ν \cdot T$. Für die gesamte Aufgabe wird $T = 0.1 \, \rm ms$ vorausgesetzt.

Ist das zweite Nyquistkriterium erfüllt, so hat $g(t)$ Nulldurchgänge bei $\pm 1.5 T$, $\pm 2.5 T$, usw.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Eigenschaften von Nyquistsystemen.

Als bekannt vorausgesetzt werden die beiden Gleichungen:

$$X(f) = \left\{ \begin{array}{c} A \\ 0 \\\end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.15cm}|f| < f_0 \hspace{0.05cm}, \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.15cm}|f| > f_0 \hspace{0.08cm} \\ \end{array} \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.4cm} x(t) =2 \cdot A \cdot f_0 \cdot {\rm si}(2 \pi f_0 T) \hspace{0.05cm},$$

$$\sin(\alpha) \cdot \cos (\beta) = \frac{1}{2} \cdot \big[ \sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta)\big] \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

	Das erste Nyquistkriterium wird erfüllt
	Das erste Nyquistkriterium wird nicht erfüllt.

$A \ = \ $

$ \ \rm mV/Hz$

$ g(t = T)/g(t = 0) \ = \ $

$g(t = 2.5 T)/g(t = 0)\ = \ $

	Das zweite Nyquistkriterium wird erfüllt.
	Das zweite Nyquistkriterium wird nicht erfüllt.

Musterlösung

Solution

(1) Die folgende Grafik zeigt das Spektrum (der Index „Per” steht hier für „Periodische Fortsetzung”):

$$G_{\rm Per}(f) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f - \frac{k}{T} ) \hspace{0.05cm}.$$

Die Laufvariable $k = 0$ gibt die ursprüngliche Spektralfunktion $G(f)$ an. Diese ist grau gefüllt.
Das um den Wert $1/T = 10\, \rm kHz$ nach rechts verschobene Spektrum gehört zu $k = 1$ und ist grün markiert, während $k = -1$ zur gelb hinterlegten Funktion führt.
Die roten und blauen Flächen kennzeichnen die Beiträge der Laufvariablen $k = 2$ und $k = - 2$.

Zur Verdeutlichung des ersten Nyquistkriteriums

Man erkennt, dass $G_{\rm Per}(f)$ konstant ist. Daraus folgt, dass das erste Nyquistkriterium erfüllt ist. Richtig ist demzufolge der Lösungsvorschlag 1.

(2) Aufgrund der Fourierintegrale gilt folgender Zusammenhang:

$$g(t=0) = \int_{-\infty}^{\infty}G(f) \,{\rm d} f = A \cdot ( 2\,{\rm kHz}+6\,{\rm kHz}+2\,{\rm kHz})= A \cdot 10\,{\rm kHz}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \frac{g(t=0)}{10\,{\rm kHz}} = \frac{2\,{\rm V}}{10\,{\rm kHz}} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.2 \, {\rm mV/Hz}} \hspace{0.05cm}.$$

(3) Es gelte $g(t) = g_{1}(t) +g_{2}(t)$, wobei

$g_{1}(t)$ die Spektralanteile im Intervall $\pm 3 \, \rm kHz$ beinhaltet und
$g_{2}(t)$ diejenigen zwischen $13 \, \rm kHz$ und $15 \, \rm kHz$ (und zwischen $-13 \, \rm kHz$ und $-15 \, \rm kHz$).

Mit der angegebenen Fourierkorrespondenz lauten die beiden Anteile:

$$g_1(t) \ = \ A \cdot 6\,{\rm kHz} \cdot {\rm si}(\pi \cdot 6\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.05cm},$$

$$g_2(t) \ = \ A \cdot 2\,{\rm kHz} \cdot{\rm si}(\pi \cdot 2\,{\rm kHz} \cdot t) \cdot 2 \cdot {\rm cos}(2 \pi \cdot 14\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

Die zweite Gleichung folgt aus der Beziehung:

$$G_2(f) = \left[ \delta(f + 14\,{\rm kHz}) + \delta(f - 14\,{\rm kHz})\right] \star \left\{ \begin{array}{c} A \\ 0 \\\end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.15cm}|f| < 1\,{\rm kHz} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.15cm}|f| > 1\,{\rm kHz} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Die untere Grafik zeigt den numerisch ermittelten Zeitverlauf $g(t)$. Für den Zeitpunkt $t = T = 0.1\, \rm ms$ (gelbes Quadrat) erhält man:

$$g_2(t = T ) = 2A \cdot 2\,{\rm kHz} \cdot {\rm si}(0.2 \cdot \pi )\cdot \cos (2.8 \cdot \pi) = \frac{ A \cdot 4\,{\rm kHz}}{0.2 \cdot \pi}\cdot {\rm sin}(0.2 \cdot \pi )\cdot\cos (0.8 \cdot \pi) = \frac{ A \cdot 10\,{\rm kHz}}{ \pi}\cdot [{\rm sin}(-0.6 \cdot \pi)+ {\rm sin}(\pi)] $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} g_2(t = T ) = -\frac{ A \cdot 10\,{\rm kHz}}{ \pi}\cdot {\rm sin}(0.6 \cdot \pi).$$

Für den ersten Anteil $g_1(t)$ gilt zum Zeitpunkt $t = T$:

$$g_1(t = T ) = A \cdot 6\,{\rm kHz} \cdot {\rm si}(0.6 \cdot \pi )= \frac{ A \cdot 6\,{\rm kHz}}{0.6 \cdot \pi}\cdot {\rm sin}(0.6 \cdot \pi )= - g_2(t = T )$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} g(t = T ) = g_1(t = T ) + g_2(t = T )\hspace{0.1cm}\underline {= 0 } \hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis ist aufgrund der Nyquisteigenschaft nicht überraschend.

Höherfrequenter Nyquistimpuls

(4) Für $t = 2.5 T$ (grünes Quadrat) erhält man folgende Teilergebnisse:

$$g_1(t = 2.5 T ) = A \cdot 6\,{\rm kHz} \cdot {\rm si}(1.5 \cdot \pi )= \frac{ A \cdot 6\,{\rm kHz}}{1.5 \cdot \pi}\cdot {\rm sin}(1.5 \cdot \pi )= - \frac{ A \cdot 4\,{\rm kHz}}{ \pi}\hspace{0.05cm},$$

$$g_2(t = 2.5 T ) = 2A \cdot 2\,{\rm kHz} \cdot {\rm si}(0.5 \cdot \pi )\cdot \cos (7 \cdot \pi)=- \frac{ A \cdot 8\,{\rm kHz}}{ \pi} $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} g(t = 2.5 T ) = g_1(t = 2.5 T ) +g_2(t = 2.5 T ) = - \frac{ A \cdot 12\,{\rm kHz}}{ \pi} \hspace{0.05cm}.$$

Berücksichtigt man $g(t = 0) = A \cdot 10 \ \rm kHz$, so ergibt sich:

$$\frac{g(t = 2.5 T )}{g(t = 0)} = -\frac{ 1.2}{ \pi} \hspace{0.1cm}\underline {= -0.382 } \hspace{0.05cm}.$$

(5) Das zweite Nyquistkriterium besagt, dass der Nyquistimpuls $g(t)$ Nulldurchgänge bei $\pm 1.5T, \pm 2.5T, \pm 3.5T, ...$ besitzt.

Nach dem Ergebnis aus (4) ist diese Bedingung hier nicht erfüllt.
Richtig ist demzufolge der Lösungsvorschlag 2.