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Übertragungsmaß von Koaxialkabeln
Koaxialkabel bestehen aus einem Innenleiter und – durch ein Dielektrikum getrennt – einem Außenleiter. Es wurden zwei unterschiedliche Kabeltypen standardisiert, wobei zur Kennzeichnung die Durchmesser von Innen– und Außenleiter herangezogen werden:
- das Normalkoaxialkabel, dessen Innenleiter einen Durchmesser von 2.6 mm besitzt und der Außendurchmesser 9.5 mm beträgt,
- das Kleinkoaxialkabel mit den Abmessungen 1.2 mm und 4.4 mm.
Der Kabelfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ ergibt sich aus der Kabellänge $l$ und dem Übertragungsmaß
$$\gamma(f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f}+ {\rm j}\cdot (\beta_1 \cdot f + \beta_2 \cdot \sqrt {f})\hspace{0.05cm}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-\gamma(f)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}|H_{\rm K}(f)| = {\rm e}^{-\alpha(f)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}\hspace{0.05cm}.$$
Die kabelspezifischen Konstanten für das Normalkoaxialkabel 2.6/9.5 mm sind:
$$\begin{align*}\alpha_0 & = 0.00162\, \frac{ {\rm Np} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.000435\, \frac{ {\rm Np} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0.2722\, \frac{ {\rm Np} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}, \\ \beta_1 & = 21.78\, \frac{ {\rm rad} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \beta_2 = 0.2722\, \frac{ {\rm rad} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } } \hspace{0.05cm}.\end{align*}$$
Entsprechend lauten die kilometrischen Dämpfungs– und Phasenkonstanten für das Kleinkoaxialkabel: $$\begin{align*}\alpha_0 & = 0.00783\, \frac{ {\rm Np} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.000443\, \frac{ {\rm Np} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0.5984\, \frac{ {\rm Np} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}, \\ \beta_1 & = 22.18\, \frac{ {\rm rad} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \beta_2 = 0.5984\, \frac{ {\rm rad} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } } \hspace{0.05cm}.\end{align*}$$
Diese Werte können aus den geometrischen Abmessungen der Kabel berechnet werden und wurden durch Messungen am Fernmeldetechnischen Zentralamt in Darmstadt bestätigt – siehe $\href{http://en.lntwww.de/cgi-bin/extern/uni.pl?uno=hyperlink&due=entitaet&e_id=29656&hyperlink_typ=entitaet_verweis&session_id=7761LSYGTN1463149483}{[Wel77]}$. Sie gelten für eine Temperatur von 20°C (293 K) und Frequenzen größer als 200 kHz. Es besteht folgender Zusammenhang zu den $\href{http://en.lntwww.de/cgi-bin/extern/uni.pl?uno=hyperlink&due=block&b_id=2433&hyperlink_typ=block_verweis&hyperlink_fenstergroesse=blockverweis_gross&session_id=7761LSYGTN1463149483}{Leitungsbelägen}$:
- Die vom frequenzunabhängigem Anteil $R’$ herrührenden Ohmschen Verluste werden durch $α_0$ modelliert und verursachen eine (bei Koaxialkabeln geringe) frequenzunabhängige Dämpfung.
- Der Anteil $α_1 · f$ des Dämpfungsmaßes ist auf die Ableitungsverluste $(G’)$ zurückzuführen und der frequenzproportionale Term $β_1 · f$ bewirkt nur eine Phasenlaufzeit, aber keine Verzerrungen.
- Die Anteile $α_2$ und $β_2$ gehen auf den Skineffekt zurück, der bewirkt, dass bei höherfrequentem Wechselstrom die Stromdichte im Leiterinneren niedriger ist als an der Oberfläche. Dadurch steigt der Widerstandsbelag $R’$ einer elektrischen Leitung mit der Wurzel aus der Frequenz an.
Charakteristische Kabeldämpfung (1)
Wir betrachten zunächst die linke Grafik; das rechte Diagramm wird weiter unten beschrieben. Links dargestellt ist das Dämpfungsmaß der zwei Koaxialkabeltypen im Frequenzbereich bis 500 MHz: $${\rm a}_{\rm K}(f) =\left [ \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f} \hspace{0.05cm} \right ] \cdot l \hspace{0.05cm}.$$ Die Ordinatenbeschriftung ist hierbei in Np/km angegeben. Oft erfolgt sie auch in dB/km, wobei die Umrechnung 1 dB = ln(10)/20 = 0.11513 Np gilt.
Man erkennt aus dieser Darstellung, dass der Fehler bei Vernachlässigung des frequenzunabhängigen Anteils $α_0$ und des frequenzproportionalen Terms $(α_1f)$ noch tolerabel ist. Im Folgenden gehen wir deshalb von der folgenden vereinfachten Dämpfungsfunktion aus: $${\rm a}_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot \sqrt {f} \cdot l = {\rm a}_{\rm \star}\cdot \sqrt { {2f}/{R}} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}|H_{\rm K}(f)| = {\rm e}^{- {\rm a}_{\rm K}(f)}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm a}_{\rm K}(f)\hspace{0.15cm}{\rm in }\hspace{0.15cm}{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
Beachten Sie, dass das Dämpfungsmaß mit „alpha” bezeichnet wird und die Dämpfungsfunktion (nach Multiplikation mit der Länge) mit „a” , was beim verwendeten Zeichensatz schwer zu erkennen ist.
Die charakteristische Kabeldämpfung $a_∗$ eignet sich insbesondere für den Vergleich verschiedener leitungsgebundener Übertragungssysteme mit unterschiedlichen Bitraten $(R)$, Kabeltypen (zum Beispiel Normal– oder Kleinkoaxialkabel) und Kabellängen $l$. Bei all diesen Übertragungssystemen beschreibt $a_∗$ die Dämpfung bei der halben Bitrate unter Vernachlässigung des $α_0$ – und des $α_1$ –Terms: $${\rm a}_{\rm \star} = {\rm a}_{\rm K}(f = {R}/{2}) = \alpha_2 \cdot \sqrt {{R}/{2}} \cdot l\hspace{0.05cm}.$$ Die Beschreibung des rechten Diagramms folgt anschließend.
Charakteristische Kabeldämpfung (2)
Das rechte Diagramm zeigt die charakteristische Kabeldämpfung $a_∗$ in Neper (Np) in Abhängigkeit der Bitrate $R$ und der Kabellänge $l$
- beim Normalkoaxialkabel (linke Ordinatenbeschriftung) und
- beim Kleinkoaxialkabel (rechte Ordinatenbeschriftung).
In der Grafik eingezeichnet sind die vom CCITT in den 1970–Jahren vorgeschlagenen PCM–Systeme der Hierarchiestufen 3 bis 5. Man erkennt:
- Bei all diesen Systemen zur PCM–Sprachübertragung nimmt die charakteristische Kabeldämpfung Werte zwischen 7 Np (≈ 61 dB) und 10.6 Np (≈ 92 dB) an.
- Das System PCM 480 – ausgelegt für 480 gleichzeitige Telefonate – mit der Bitrate $R$ ≈ 35 Mbit/s wurde sowohl für das Normalkoaxialkabel (mit der Leitungslänge $l =$ 9.3 km) als auch für das Kleinkoaxialkabel (mit 4 km Länge) spezifiziert. Die $a_∗$–Werte 10.4 Np bzw. 9.9 Np liegen in der gleichen Größenordnung.
- Das Übertragungssystem PCM 1920 der vierten Hierarchiestufe $(R$ ≈ 140 Mbit/s, $l =$ 4.65 km, Normalkoaxialkabel) wird durch $a_∗$ = 10.6 Np bzw. 10.6 · 8.688 dB/Np ≈ 92 dB parametrisiert.
- Obwohl das System PCM 7680 demgegenüber zwar die vierfache Kapazität $(R$ ≈ 560 Mbit/s) aufweist, ist die charakteristische Kabeldämpfung mit $a_∗$ ≈ 61 dB aufgrund der um den Faktor 3 kürzeren Kabelabschnitte $(l$ = 1.55 km, Normalkoaxialkabel) deutlich geringer.
- Aus diesen Zahlenwerten geht auch hervor, dass bei Koaxialkabelsystemen die Kabellänge $l$ kritischer ist als die Bitrate $R$. Will man die Kabellänge verdoppeln, muss man die Bitrate um den Faktor 4 herabsetzen.
Die hier beschriebene Thematik können Sie sich auch mit folgendem Interaktionsmodul verdeutlichen:
$\href{http://en.lntwww.de/cgi-bin/extern/uni.pl?uno=hyperlink&due=block&b_id=2133&hyperlink_typ=block_verweis&hyperlink_fenstergroesse=blockverweis_gross&session_id=7761LSYGTN1463149483}{Dämpfung von Kupferkabeln}$
Impulsantworten von Koaxialkabeln (1)
Zur Berechnung der Impulsantwort können von den fünf Anteilen des Übertragungsmaßes die beiden ersten Dämpfungsanteile vernachlässigt werden (Begründung siehe vorheriger Abschnitt): $$\begin{align*}\gamma(f) & = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + {\rm j} \cdot \beta_1 \cdot f +\alpha_2 \cdot \sqrt {f}+ {\rm j}\cdot \beta_2 \cdot \sqrt {f} \approx \\ & \approx & {\rm j} \cdot \beta_1 \cdot f +\alpha_2 \cdot \sqrt {f}+ {\rm j}\cdot \beta_2 \cdot \sqrt {f} \hspace{0.05cm}.\end{align*}$$
Unter Berücksichtigung
- der Kabellänge $l$,
- der charakteristischen Kabeldämpfung $a_∗$ und
- der Tatsache, dass $α_2$ (in Np) und $β_2$ (in rad) zahlenmäßig gleich sind,
gilt somit für den Frequenzgang des Koaxialkabels:
$$\begin{align*}H_{\rm K}(f) & = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} b_1 f} \cdot {\rm e}^{-{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{2f/R} }\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.02cm} \sqrt{2f/R}}=\\ & = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} b_1 f} \cdot {\rm e}^{-2{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \sqrt{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f/R}} \hspace{0.05cm},\end{align*}$$
$${\rm wobei} \hspace{0.15cm}b_1\hspace{0.1cm}{(\rm in }\hspace{0.15cm}{\rm rad)}= \beta_1 \cdot l \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.1cm}{(\rm in }\hspace{0.15cm}{\rm Np)}= \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l \hspace{0.05cm}.$$
Zur Zeitbereichsdarstellung kommt man durch Anwendung der $\href{http://en.lntwww.de/cgi-bin/extern/uni.pl?uno=hyperlink&due=block&b_id=600&hyperlink_typ=block_verweis&hyperlink_fenstergroesse=blockverweis_gross&session_id=7761LSYGTN1463149483}{Fourierrücktransformation}$ und des Faltungssatzes: $$h_{\rm K}(t) = {\rm F}^{-1} \left \{ {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} b_1 f}\right \} \star {\rm F}^{-1} \left \{ {\rm e}^{-2{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \sqrt{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f/R} }\right \} \hspace{0.05cm}.$$
Hierbei ist zu berücksichtigen:
- Der erste Term liefert die um die Phasenlaufzeit $τ_{\rm P} = b_1/2π$ verschobene Diracfunktion $δ(t – τ_{\rm P})$.
- Der zweite Term lässt sich analytisch geschlossen angeben. Wir schreiben hierfür $h_{\rm K}(t + τ_P)$. Im Gegensatz zu $h_{\rm K}(t)$ ist hier die Phasenlaufzeit $τ_{\rm P}$ nicht berücksichtigt.
$$h_{\rm K}(t + \tau_{\rm P}) = \frac {{\rm a}_{\rm \star}}{\pi \cdot \sqrt{2 \hspace{0.05cm}R \hspace{0.05cm}t^3}}\cdot {\rm exp} \left [ -\frac {{\rm a}_{\rm \star}^2}{ {2\pi \hspace{0.05cm}R\hspace{0.05cm} t}} \right ]\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm}{\rm in\hspace{0.15cm} Np}\hspace{0.05cm}.$$
- Da die Bitrate $R$ bereits bei der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung $a_∗$ berücksichtigt wurde, lässt sich diese Gleichung mit der normierten Zeit $t' = t/T$ einfach darstellen, wobei $T = 1/R$ die Symboldauer eines Binärsystems angibt. Desweiteren gilt $τ_{\rm P'} = τ_{\rm P}/T:$
$$h_{\rm K}(t' + \tau_{\rm P} ') = \frac {1}{T} \cdot \frac {{\rm a}_{\rm \star}}{\pi \cdot \sqrt{2 \hspace{0.05cm}t'^3}}\cdot {\rm exp} \left [ -\frac {{\rm a}_{\rm \star}^2}{ {2\pi \hspace{0.05cm}t'}} \right ]\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm}{\rm in\hspace{0.15cm} Np}\hspace{0.05cm}.$$
