Exercise 3.13: Path Weighting Function again

Zur Reduktion des Zustandsübergangsdiagramms

Auf der Seite Regeln zur Manipulation des Zustandsübergangsdiagramms wurde für das Beispiel unseres Rate–1/2–Standardcodes mit Gedächtnis $m = 2$ und der Übertragungsfunktionsmatrix

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 + D + D^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} 1 + D^2 \hspace{0.05cm}\big )$$

die Berechnung der Pfadgewichtsfunktionen sehr ausführlich beschrieben. Als Ergebnisse wurden genannt:

$$T_{\rm enh}(X, U) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} \frac{U\hspace{-0.05cm} X^5}{1- 2U\hspace{-0.05cm}X} =U\hspace{-0.05cm}X^5 \cdot \big [ 1 + (2U\hspace{-0.08cm}X) + (2U\hspace{-0.08cm}X)^2 + \text{...} \hspace{0.05cm} \big ] \hspace{0.01cm},$$

$$T(X) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} \frac{X^5}{1- 2X} = X^5 \cdot \big [ 1 + (2X) + (2X)^2 + \text{...} \hspace{0.05cm} \big ] \hspace{0.05cm}.$$

Nun sollen die gleichen Berechnungen für den äquivalenten systematischen Code mit der Übertragungsfunktionsmatrix

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} (1 + D^2)/(1 + D + D^2) \hspace{0.05cm}\big )$$

durchgeführt werden.

Die Grafik zeigt das Zustandsübergangsdiagramm $\rm (A)$ und die Struktur des reduzierten Diagramms $\rm (B)$, wobei die Übergänge mit $A(X, \, U), \ \text{...}\ , \ G(X, \, U)$ allgemein bezeichnet sind.
In der Teilaufgabe (1) sollen diese Abkürzungen an das Zustandsübergangsdiagramm $\rm (A)$ angepasst werden.

Hinweise:

Die Aufgabegehört zum Kapitel Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken.
Zur Lösung der Teilaufgaben (2) und (3) verweisen wir hier nochmals auf die Seite Regeln zur Manipulation des Zustandsübergangsdiagramms im Theorieteil.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Alle Lösungsvorschläge sind richtig. Im angepassten Diagramm $\rm (B)$ sind alle Übergänge eingezeichnet:

Zur Reduktion des Zustandsübergangsdiagramms

Der Übergang von $S_0$ nach $S_1$ ist durch "$1 \ | \ 11$" gekennzeichnet.
Die Ausgangssequenz $\underline{x}_i = (11)$ wird durch $X^2$ ausgedrückt, das Eingangsbit $u_i = 1$ durch $U$.
Das gleiche Ergebnis erhält man für $G(X, \, U)$:

$$A(X, U) = G(X, U)= UX^2 \hspace{0.05cm}.$$

Die Ausgangssequenzen $\underline{x}_i = (01)$ sowie $\underline{x}_i = (10)$ werden beide mit $X$ markiert.
Unter Berücksichtigung der Eingangsbits erhält man somit:

$$u_i = 1\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.15cm} B(X, U) = D(X, U)= UX\hspace{0.05cm},$$

$$u_i = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.15cm} C(X, U) = E(X, U)= X \hspace{0.05cm}.$$

Der Übergang "$0 \ | \ 00$" von $S_2$ nach $S_1$ wird durch $F(X, \, U) = 1$ ausgedrückt.

(2) Entsprechend der Vorgehensweise auf der Seite Regeln zur Manipulation des Zustandsübergangsdiagramms im Theorieteil wird zunächst der Übergang von $S_1$ nach $S_2$ via $S_3$ durch einen Ring zusammengefasst.

Man erhält für die rote Hinterlegung im Diagramm $\rm (B)$:

$$T_1(X, U) = \frac{A(X, U) \cdot B(X, U)}{1- C(X, U)} = \frac{X \cdot X}{1- U \cdot X} \hspace{0.05cm}.$$

Die beiden parallelen Übergänge entsprechend der blauen Hinterlegung im Diagramm $\rm (C)$ können wie folgt kombiniert werden:

$$T_2(X, U) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} T_1(X, U) + B(X, U) =\frac{X^2}{1- U X}+ U X = \frac{X^2 + U- U^2X^2}{1- U X} \hspace{0.05cm}.$$

Die erweiterte Pfadgewichtsfunktion ergibt sich entsprechend Diagramm $\rm (D)$ als Rückkopplung:

$$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{A(X, U) \cdot G(X, U)\cdot T_2(X, U)}{1- F(X, U) \cdot T_2(X, U)} = \frac{UX^2 \cdot UX^2\cdot \frac{X^2 + UX- U^2X^2}{1- U X}}{1- 1 \cdot \frac{X^2 + UX- U^2X^2}{1- U X}}\hspace{0.05cm}.$$

Dem Autor ist es auch nach mehreren Versuchen nicht gelungen, diesen Ausdruck zielführend weiter zu vereinfachen. Er tendiert zum Lösungsvorschlag 3 mit dem Zusatz "ohne Gewähr".

Dieses Ergebnis würde jedoch bedeuten, dass sich die erweiterte Pfadgewichtsfunktion des äquivalenten systematischen Codes von der des nichtsystematischen Codes unterscheidet.
Wir werden diese Frage noch mit einem Fachmann klären.

(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

Setzt man in der erweiterten Funktion $T_{\rm enh}(X, \, U)$ den Formalparameter $U = 1$, so erhält man den Lösungsvorschlag 1:

$$T(X) = \frac{X^4 \cdot \frac{X^2 + X- X^2}{1- X}}{1- \frac{X^2 + X- X^2}{1- X}}= \frac{X^5 }{1- X - X} = \frac{X^5 }{1- 2X} \hspace{0.05cm}.$$

Mit der Reihenentwicklung $1/(1 \, –x) = 1 + x + x^2 + \ \text{...}\ $ kommt man zum Lösungsvorschlag 2.
Das heißt: Die einfache Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ stimmt bei beiden Codes überein.

	$A(X, \, U) = UX^2$,
	$B(X, \, U) = UX$,
	$C(X, \, U) = X$,
	$D(X, \, U) = UX$,
	$E(X, \, U) = X$,
	$F(X, \, U) = 1$,
	$G(X, \, U) = UX^2$.

	$T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^5 \ / \ (1 \, –2UX)$.
	$T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^5 + 2 U^2X^6 + 4U^3X^7 + 8U^4X^8 + \ \text{...}$,
	Keiner der Vorschläge ist richtig.

	$T(X) = X^5 \ / \ (1 \, –2X)$.
	$T(X) = X^5 + 2X^6 + 4X^7 + 8X^8 + \ \text{...} $
	Keiner der Vorschläge ist richtig.