VTF bei kontinuierlichen Zufallsgrößen (1)
Zur Beschreibung von Zufallsgrößen wird neben der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion auch häufig die Verteilungsfunktion (VTF) herangezogen, die wie folgt definiert ist:
Die Verteilungsfunktion $F_{\rm x}(r)$ entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $x$ kleiner oder gleich einem reellen Zahlenwert $r$ ist: $$F_{\rm x}(\it r)= \rm Pr(\it x \le r).$$
Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße sind bezüglich der VTF folgende Aussagen möglich:
- Die Verteilungsfunktion ist aus der WDF $f_{\rm x}(x)$ durch Integration berechenbar. Es gilt:
$$F_{\rm x}(r) \rm = \int_{-\infty}^{r}f_x(x)\,{\rm d}x.$$
- Da die WDF nie negativ ist, steigt $F_{\rm x}(r)$ zumindest schwach monoton an, und liegt stets zwischen den beiden Grenzwerten $F_{\rm x}(r → \hspace{0.05cm} – \hspace{0.05cm} ∞) =$ 0 und $F_{\rm x}(r → +∞) =$ 1.
- Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch Differentiation bestimmen:
$$f_{\rm x}(x)=\frac{\rm d\it F_{\rm x}(r)}{\rm d \it r}\Bigg |_{\hspace{0.1cm}r=x}.$$
- Der Zusatz $„r = x”$ macht deutlich, dass bei unserer Nomenklatur das Argument der WDF die Zufallsgröße selbst ist, während das VTF–Argument eine beliebige reelle Variable $r$ ist.
Hinweise zur Nomenklatur: Hätten wir wie bei WDF und VTF zwischen Zufallsgröße $X$ und Realisierungen $x ∈ X$ unterschieden ⇒ $f_{\rm X}(x), F_{\rm X}(x),$ so ergäbe sich folgende Nomenklatur:
$$F_{\rm X}(\it x)= \rm Pr(\it X \le x) = \int_{-\infty}^{x}f_{\rm x}(\xi)\,{\rm d}\xi.$$
Leider haben wir uns zu Beginn unseres LNTwww–Projektes (2001) für die obige Nomenklatur entschieden, was nun (2016) nicht mehr zu ändern ist, auch im Hinblick der realisierten Lernvideos. Wir bleiben also bei $„f_{\rm x}(x)”$ anstelle von $„f_{\rm X}(x)”$ sowie $„F_{\rm x}(r)”$ anstelle von $„F_{\rm X}(x)”.$
