Einseitige Exponentialverteilung
Eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ nennt man (negativ-)exponentialverteilt, wenn sie nur nicht-negative Werte annehmen kann und die WDF für $x$ > 0 folgenden Verlauf hat: $$f_x(x)=\it \lambda\cdot\rm e^{\it -\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} x}.$$
Das linke Bild zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) einer exponentialverteilten Zufallsgröße $x$. Hervorzuheben ist:
- Definitionsgemäß gilt $f_{\rm x}(0) = λ/2.$
- Je größer der Verteilungsparameter $λ$ ist, um so steiler erfolgt der Abfall.
Für die Verteilungsfunktion (rechtes Bild) erhält man für $r$ > 0 durch Integration über die WDF: $$F_x(r)=1-\rm e^{\it -\lambda\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} r}.$$
Die Momente der Exponentialverteilung sind allgemein gleich $m_k = k!/λ^k.$ Daraus und aus dem Satz von Steiner ergibt sich für den Mittelwert und die Streuung: $$m_1=\frac{1}{\lambda},$$ $$\sigma=\sqrt{m_2-m_1^2}=\sqrt{\frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2}}=\frac{1}{\lambda}.$$
Die Exponentialverteilung hat große Bedeutung für Zuverlässigkeitsuntersuchungen, wobei in diesem Zusammenhang auch der Begriff Lebensdauerverteilung üblich ist. Bei diesen Anwendungen ist die Zufallsgröße oft die Zeit $t$, die bis zum Ausfall einer Komponente vergeht. Desweiteren ist anzumerken, dass die Exponentialverteilung eng mit der Poissonverteilung in Zusammenhang steht.
Transformation von Zufallsgrößen
Zur Erzeugung einer solchen exponentialverteilten Zufallsgröße an einem Digtalrechner kann zum Beispiel eine nichtlineare Transformation verwendet werden. Das zugrunde liegende Prinzip wird hier zunächst allgemein angegeben.
Besitzt eine kontinuierliche Zufallsgröße $u$ die WDF $f_{\rm u}(u)$, so gilt für die WDF der an der nichtlinearen Kennlinie $x = g(u)$ transformierten Zufallsgröße $x$: $$f_x(x)=\frac{f_u(u)}{\mid g'(u)\mid}\Bigg |_{\hspace{0.1cm} u=h(x)}.$$
Hierbei bezeichnet $g'(u)$ die Ableitung der Kennlinie; $h(x)$ gibt die Umkehrfunktion zu $g(u)$ an.
Diese Gleichung gilt allerdings nur unter der Voraussetzung, dass die Ableitung $g'(u)$ ungleich 0 ist. Bei einer Kennlinie mit horizontalen Abschnitten $(g'(u) =$ 0) treten in der WDF zusätzliche Diracfunktionen auf, wenn die Eingangsgröße in diesem Bereich Anteile besitzt. Die Gewichte dieser Diracfunktionen sind gleich den Wahrscheinlichkeiten, dass die Eingangsgröße in diesen Bereichen liegt.
Gibt man eine zwischen –2 und +2 dreieckverteilte Zufallsgröße $u$ auf eine Nichtlinerität mit der Kennlinie $x = g(u)$, die im Bereich $|u|$ ≤ 1 die Eingangswerte um den Faktor 3 verstärkt und alle Werte $|u|$ > 1 je nach Vorzeichen auf $x =$ ±3 abbildet, so ergibt sich die rechts skizzierte WDF $f_{\rm x}(x)$. Bitte beachten Sie:
- Aufgrund der Verstärkung um den Faktor 3 ist die WDF $f_{\rm x}(x)$ um diesen Faktor breiter und niedriger als $f_{\rm u}(u).$
- Die horizontalen Begrenzungen der Kennlinie bei $u =$ ±1 führen zu den beiden Diracfunktionen bei $x =$ ±3, jeweils mit Gewicht 1/8 ⇒ grüne Flächen in der WDF $f_{\rm u}(u).$
