Wahrscheinlichkeitsdichte- und Verteilungsfunktion (1)
Alle bisherigen Aussagen von Kapitel 4 gelten allgemein. Für den Sonderfall Gaußscher Zufallsgrößen – der Name geht auf den Wissenschaftler Carl Friedrich Gauß zurück – können wir weiterhin vermerken:
- Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße $(x, y)$ mit den Mittelwerten $m_x =$ 0 und $m_y =$ 0 sowie dem Korrelationskoeffizienten $ρ_{xy}$ lautet:
$$f_{\rm xy}(x,y)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi \sigma_x \sigma_y \sqrt{\rm 1-\rho_{\it xy}^2}}\cdot\exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 (1-\it\rho_{xy}^{\rm 2} {\rm)}}\cdot(\frac {\it x^{\rm 2}}{\sigma_x^{\rm 2}}+\frac {\it y^{\rm 2}}{\sigma_y^{\rm 2}}-\rm 2\it\rho_{xy}\cdot\frac{x \cdot y}{\sigma_x \cdot \sigma_y}\rm ) \rm \Bigg].$$
- Ersetzt man in dieser Gleichung $x$ durch $(x – m_x)$ sowie $y$ durch $(y – m_y)$, so ergibt sich die allgemeinere WDF einer zweidimensionalen Gaußschen Zufallsgröße mit Mittelwert.
- Die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $f_{\rm x}(x)$ und $f_{\rm y}(y)$ sind in diesem Fall ebenfalls gaußförmig und weisen die Streuungen $σ_x$ bzw. $σ_y$ auf.
- Bei unkorrelierten Komponenten $x$ und $y$ muss in obiger Gleichung $ρ_{xy} =$ 0 eingesetzt werden, und man erhält dann das Ergebnis:
$$f_{\rm xy}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{x}} \cdot\rm e^{-\it {x^{\rm 2}}/{\rm (}{\rm 2\it\sigma_{x}^{\rm 2}} {\rm )}} \cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{\it y}}\cdot e^{-\it {y^{\rm 2}}/{\rm (}{\rm 2\it\sigma_{y}^{\rm 2}} {\rm )}} = \it f_{\rm x} \rm ( \it x \rm ) \cdot \it f_{\rm y} \rm ( \it y \rm ) .$$
Resümee:
Im Sonderfall einer 2D-Zufallsgröße mit Gaußscher WDF $f_{\rm xy}(x, y)$ folgt aus der Unkorreliertheit auch direkt die statistische Unabhängigkeit: $$f_{\rm xy}(x,y)= f_{\rm x}(x) \cdot f_{\rm y}(y) . $$
Bei keiner anderen WDF kann aus der Unkorreliertheit auf die statistische Unabhängigkeit geschlossen werden. Man kann aber stets ⇒ für jede beliebige 2D–WDF $f_{\rm xy}(x, y)$ von der statistischen Unabhängigkeit auf die Unkorreliertheit schließen, weil:
- Sind zwei Zufallsgrößen $x$ und $y$ völlig voneinander (statistisch) unabhängig, so gibt es zwischen ihnen natürlich auch keine linearen Abhängigkeiten.
