Exercise 1.6Z: Interpretation of the Frequency Response

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Mit dieser Aufgabe soll der Einfluss eines Tiefpasses $H(f)$ auf cosinusförmige Signale der Form

$$x_i(t) = A_x \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t )$$ veranschaulicht werden. In der Grafik sehen Sie die Signale $x_i(t)$, wobei der Index $i$ die Frequenz in kHz angibt. So beschreibt $x_2(t)$ ein 2 kHz–Signal.

Die Signalamplitude beträgt jeweils $A_x =$ 1 V. Das Gleichsignal $x_0(t)$ ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz $f_0 =$ 0 zu interpretieren.

Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort $h(t)$ des Tiefpasses. Der dazugehörige Frequenzgang lautet: $$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ {\rm \Delta}f}) .$$ Aufgrund der Linearität und der Tatsache, dass $H(f)$ reell und gerade ist, sind die Ausgangssignale ebenfalls cosinusförmig: $$y_i(t) = A_i \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t ) .$$ Gesucht werden die Signalamplituden $A_i$ am Ausgang für die verschiedenen Eingangsfrequenzen $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll. Dieser etwas umständliche Lösungsweg soll dazu dienen, den Zusammenhang zwischen Zeit– und Frquenzbereich deutlich zu machen.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 1.3. Entgegen der sonst üblichen Definition einer Amplitude können die $„A_i”$ durchaus negativ sein. Dies entspricht dann der Funktion „Minus-Cosinus”.

Fragebogen

1

Welcher Tiefpass liegt hier vor?

	Idealer Tiefpass.
	Spalttiefpass.
	Gaußtiefpass.

2

Geben Sie die äquivalente Bandbreite von $H(f)$ an.

$\Delta f =$ kHz

3

Berechnen Sie allgemein die Amplitude $A_i$ in Abhängigkeit von $x_i(t)$ und $h(t)$. Welche der nachfolgenden Punkte sind bei der Berechnung zu berücksichtigen?

	Beim Cosinussignal gilt $A_i = y_i(t = 0)$.
	Es gilt $y_i(t) = x_i(t) · h(t)$.
	Es gilt $y_i(t) = x_i(t) ∗ h(t)$.

4

Welche der nachfolgenden Ergebnisse treffen für $A_0, A_2$ und $A_4$ zu?

	$A_0 =$ 0.
	$A_0 =$ 1 V.
	$A_2 =$ 0.
	$A_2 =$ 1 V.
	$A_4 =$ 0.
	$A_4 =$ 1 V.

5

Berechnen Sie die Amplituden $A_1$ und $A_3$ für ein 1 kHz- bzw. 3 kHz-Signal. Interpretieren Sie die Ergebnisse anhand der Spektralfunktion.

$A_1 =$ V

$A_3 =$ V

Musterlösung

Solution

a) Es handelt sich um einen $\rm \underline{Spalttiefpass}$.

b) Die (äquivalente) Zeitdauer der Impulsantwort ist $Δt =$ 0.5 ms. Die äquivalente Bandbreite ist gleich dem Kehrwert $Δf = 1/Δt \ \rm \underline{= \ 2 kHz}$.

c) Da $y_i(t)$ cosinusförmig ist, ist die Amplitude gleich dem Signalwert bei $t =$ 0. Das Ausgangssignal soll hier über die Faltung berechnet werden:

$$A_i = y_i (t=0) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x_i ( \tau )} \cdot h ( {0 - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Berücksichtigt man die Symmetrie und die zeitliche Begrenzung von $h(t)$, so kommt man zum Ergebnis:

$$A_i = \frac{A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ - \Delta t /2 }^{ + \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_i \tau )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Richtig sind also die $\rm \underline{\ Lösungsvorschläge \ 1 \ und \ 3}$.

d) Beim Gleichsignal $x_0(t) = A_x$ ist $f_i =$ 0 zu setzen und man erhält $A_0 = A_x \ \rm \underline{ = \ 1 \ V}$.

Dagegen verschwindet bei den Cosinusfrequenzen $f_2 =$ 2 kHz und $f_4 =$ 4 kHz jeweils das Integral, da dann genau über eine bzw. zwei Periodendauern zu integrieren ist: $A_2 \ \rm \underline{ = \ 0}$ und $A_4 \ \rm \underline{ = \ 0}$.

Im Frequenzbereich entsprechen die hier behandelten Fälle:

$$H(f=0) = 1, \hspace{0.3cm}H(f=\Delta f) = 0, \hspace{0.3cm}H(f=2\Delta f) = 0.$$

e) Das Ergebnis von c) lautet unter Berücksichtigung der Symmetrie für $f_i = f_1$:

$$A_1= \frac{2A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ 0 }^{ \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_1 \tau )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \frac{2A_x}{2\pi f_1 \cdot \Delta t} \cdot {\rm sin}(2\pi f_1 \frac{\Delta t}{2} )= A_x \cdot {\rm si}(\pi f_1 \Delta t ).$$

Mit $f_1 · Δt =$ 0.5 lautet somit das Ergebnis:

$$A_1 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{\pi}{2} ) = \frac{2A_x}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.637\,{\rm V}}.$$

Entsprechend erhält man mit $f_3 · Δt =$ 1.5:

$$A_3 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{3\pi}{2} ) = -\frac{2A_x}{3\pi} = -\frac{A_1}{3}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.212\,{\rm V}}.$$

Genau zu den gleichen Ergebnissen – aber deutlich schneller – kommt man durch die Anwendung der Gleichung $A_i = A_x · H(f = f_i)$.

Bereits aus den Grafiken auf der Angabenseite erkennt man, dass das Integral über $x_1(t)$ im markierten Bereich positiv und das Integral über $x_3(t)$ negativ ist. Es ist allerdings anzumerken, dass man im Allgemeinen als Amplitude meist den Betrag bezeichnet (siehe Hinweis auf der Angabenseite).