Exercise 1.4Z: Everything Rectangular

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Wir betrachten das periodische Rechtecksignal $x(t)$ gemäß obiger Skizze, dessen Periodendauer $T_0 = 2T$ ist. Dieses Signal besitzt Spektralanteile bei der Grundfrequenz $f_0 = 1/T_0 = 1/(2T)$ und allen ungeradzahligen Vielfachen davon, d.h. bei $3f_0, 5f_0,$ usw. Zusätzlich gibt es einen Gleichanteil.

Dazu betrachten wir zwei Filter A und B mit jeweils rechteckförmiger Impulsantwort $h_{\rm A}(t)$ mit Dauer $6T$ bzw. $h_{\rm B}(t)$ mit der Dauer $5T$. Die Höhen der beiden Impulsantworten sind so gewählt, dass die Flächen der Rechtecke jeweils 1 ergeben.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 1.2. Informationen zur Faltung finden Sie im Kapitel 3.4 des Buches „Signaldarstellung”.

Fragebogen

1

Berechnen Sie das Ausgangssignal $y_{\rm A}(t)$ von Filter A, insbesondere die Werte bei $t = 0$ und $t = T$.

$y_{\rm A}(t = 0) =$ V

$y_{\rm A}(t = T) =$ V

2

Geben Sie die Betragsfunktion $|H_{\rm A}(f)|$ an. Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = f_0$? Interpretieren Sie das Ergebnis der Teilaufgabe 1).

$|H_{\rm A}(f = f_0)| =$

3

Berechnen Sie das Ausgangssignal $y_{\rm B}(t)$ von Filter B, insbesondere die Werte bei $t = 0$ und $t = T$.

$y_{\rm B}(t = 0) =$ V

$y_{\rm B}(t = T) =$ V

4

Wie lautet die Betragsfunktion $|H_{\rm B}(f)|$, insbesondere bei den Frequenzen $f = f_0$ und $f = 3 · f_0$? Interpretieren Sie damit das Ergebnis von 3).

$|H_{\rm B}(f = f_0)| =$

$|H_{\rm B}(f = 3f_0)| =$

Musterlösung

Solution

1. Das Ausgangssignal ist das Ergebnis der Faltungsoperation zwischen $x(t)$ und $h_{\rm A}(t)$: $$y_{\rm A}(t) = x (t) * h_{\rm A} (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x ( \tau )} \cdot h_{\rm A} ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$ Aufgrund der Rechteckfunktion und der Dauer $6T$ kann hierfür auch geschrieben werden: $$y_{\rm A}(t) = \frac{1}{6T}\cdot \int_{t-6T}^{t}x(\tau)\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$ Man erkennt, dass diese Gleichung für alle $t$ das gleiche Ergebnis $y_{\rm A}(t) \rm \underline{\: = 1V}$ liefert.

2. Der Betragsfrequenzgang lautet: $$|H_{\rm A}(f)| = |{\rm si}(\pi \cdot f \cdot 6T)|.$$ Dieser weist Nullstellen im Abstand $1/(6T)$ auf. Somit liegen auch bei $f_0, 3f_0, 5f_0$ usw. jeweils Nullstellen vor. Insbesondere gilt auch: $|H_{\rm A}(f = f_0)| \underline{\: = 0}$. Vom Spektrum $X(f)$ bleibt somit nur der Gleichanteil 1V unverändert erhalten. Dagegen sind alle anderen Spektrallinien in $Y_{\rm A}(f)$ nicht mehr enthalten.

3. Analog zur Teilaufgabe 1) kann hier für das Ausgangssignal geschrieben werden: $$y_{\rm B}(t) = \frac{1}{5T}\cdot \int_{t-5T}^{t}x(\tau)\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$ Es ergibt sich nun ein um den Mittelwert 1V schwankender dreieckförmiger Verlauf, wie aus der unteren Grafik zu ersehen ist. Zu den Zeiten $t = 0, t = 2T, t = 4T, ...$ ist $$y_{\rm B}(t) = \frac{2\,{\rm V} \cdot 2T }{5T} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.8\,{\rm V}},$$ da jeweils zwei Rechtecke und drei Lücken ins Integrationsintervall fallen. Dagegen sind bei $t = T, 3T, 5T,$ usw. jeweils drei Rechtecke und zwei Lücken zu berücksichtigen, und man erhält $y_{\rm B}(t) \rm \underline{\: = 1.2 \: V}$.

4. Die Betragsfunktion lautet nun allgemein bzw. bei den Frequenzen $f = f_0 = 1/(2T)$ und $f = 3f_0$: $$\begin{align*} |H_{\rm B}(f)| & = |{\rm si}(\pi \cdot f \cdot 5T)|, \\ |H_{\rm B}(f = f_0)| & = |{\rm si}(\pi \frac{5T}{2T})| = |{\rm si}(2.5\pi )| = \frac{1}{2.5 \pi} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.127}, \\ |H_{\rm B}(f = 3f_0)| & = |{\rm si}(7.5\pi )| = \frac{1}{7.5 \pi} \hspace{0.15cm}\underline{=0.042}.\end{align*}$$

Die Spektralanteile des Rechtecksignals bei $f_0, 3f_0,$ usw. werden zwar nun nicht mehr unterdrückt, aber mit steigender Frequenz immer mehr abgeschwächt und zwar in der Form, dass der Rechteckverlauf in ein periodisches Dreiecksignal gewandelt wird. Der Gleichanteil bleibt auch hier unverändert.

Beide Filter liefern also den Mittelwert des Eingangssignals. Beim vorliegenden Signal $x(t)$ ist für die Bestimmung des Mittelwertes das Filter A besser geeignet als das Filter B, da bei Ersterem die Länge der Impulsantwort ein Vielfaches der Periodendauer $T_0 = 2T$ ist. Ist diese Bedingung – wie beim Filter B – nicht erfüllt, so überlagert sich dem Mittelwert noch ein (in diesem Beispiel dreieckförmiges) Fehlersignal.