Exercise 4.7: Copper Twin Wire 0.5 mm

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Hier soll das Zeitverhalten einer Kupferdoppelader mit einem Durchmesser von 0.5 mm analysiert werden. Der Frequenzgang lautet mit der Leitungslänge l = 1.5 km und der Bitrate R = 10 Mbit/s:

$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-{\rm a}_0 } \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.01cm}\tau_{\rm P}} \cdot {\rm e}^{-{\rm a}_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.02cm}2f/R}\cdot \\ \cdot {\rm e}^{-{\rm a}_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2f/R}}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2f/R}} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei sind folgende Größen verwendet, die sich aus dem Dämpfungs– und Phasenmaß ableiten lassen:

$${\rm a}_0 = \alpha_0 \cdot l\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\alpha_0 = 0.5066\,\, \frac{\rm Np}{\rm km}\hspace{0.05cm},\\ \tau_{\rm P} = \frac{\beta_1 \cdot l}{2 \pi} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\beta_1 = 30.6\,\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},\\ {\rm a}_1 = \alpha_1 \cdot l \cdot {\frac{R}{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} \alpha_1 = 0.136\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},\\ {\rm a}_2 = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{\frac{R}{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} \alpha_2 = 1.1467\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot MHz^{0.5}}\hspace{0.05cm},\\ {\rm b}_2 = \beta_2 \cdot l \cdot \sqrt{\frac{R}{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} \beta_2 = 1.1467\,\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz^{0.5}}\hspace{0.05cm}.$$

Die Parameter α₀, α₁ und α₂ wurden aus den k–Parametern umgerechnet, wie in der Aufgabe A4.6 gezeigt. Der Phasenmaßparameter β₂ wurde hier zahlenmäßig gleich dem Dämpfungsmaßparameter α₂ gesetzt. a₂ und b₂ unterscheiden sich deshalb nur in der Einheit. Im Theorieteil zu diesem Kapitel 4.3 wird dargelegt, warum diese Maßnahme erforderlich ist.

Die Impulsantwort lässt sich somit in der Form

$$h_{\rm K}(t ) = K \cdot \left [ \delta(t - \tau_{\rm P})\star h_{1}(t) \star h_{2}(t) \right ]$$

darstellen, wobei

• die Teilimpulsantwort h₁(t) auf den dritten Term in obiger Gleichung zurückgeht, und

• h₂(t) die gemeinsame Zeitbereichsdarstellung der beiden letzten Terme angibt.

Die Grafik zeigt den Anteil h₂(t) der Impulsantwort und das Faltungsprodukt h₁(t) ∗ h₂(t). Dabei ist h₂(t) gleich der Koaxialkabel–Impulsantwort mit der charakteristischen Kabeldämpfung a_∗ = a₂.

Hinweis: Die Aufgabe beschreibt das Themengebiet von Kapitel 4.3.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die Konstante der Impulsantwort.

$K$ =

2

Berechnen Sie die Phasenlaufzeit, bezogen auf die Symboldauer T.

$\tau_P/T$ =

3

Wie groß ist die charakteristische Dämpfung des vergleichbaren Koaxialkabels?

$a_\star$ = $dB$

4

Welche Eigenschaften weist die Teilimpulsantwort h₁(t) auf?

	h1(t) ist eine gerade Funktion.
	Das Maximum von h1(t) liegt bei t = 0.
	Das Integral über h1(t) ergibt den Wert 2.

5

Welche Eigenschaften erkennt man an der Funktion h₁(t) ∗ h₂(t)?

	h1(t) ∗ h2(t) gibt die Verzerrungen von hK(t) vollständig wieder.
	h1(t) ∗ h2(t) unterscheidet sich von hK(t) nur durch einen Faktor.

Musterlösung

Solution

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.