Differential Entropy

1. Information Theory
2. Wertkontinuierliche Informationstheorie
3. Differential Entropy

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Eigenschaften wertkontinuierlicher Zufallsgrößen

Bisher wurden stets wertdiskrete Zufallsgrößen der Form $X = \{x_1, x_2, ... , x_μ, ... , x_M\}$ betrachtet, die aus informationstheoretischer Sicht vollständig durch ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion (englisch: Probability Mass Function, PMF) $P_X(X)$ charakterisiert werden:

$$P_X(X) = \left [ \hspace{0.1cm} p_1, p_2, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.15cm}, p_{\mu},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.15cm}, p_M \hspace{0.1cm}\right ] \hspace{0.3cm}{\rm mit} \hspace{0.3cm} p_{\mu}= P_X(x_{\mu})= {\rm Pr}( X = x_{\mu}) \hspace{0.05cm}.$$

Eine wertkontinuierliche Zufallsgröße kann dagegen – zumindest in endlichen Intervallen – jeden beliebigen Wert annehmen. Aufgrund des nicht abzählbaren Wertevorrats ist in diesem Fall die Beschreibung durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion nicht möglich oder zumindest nicht sinnvoll: Es ergäbe sich nämlich $M$ → $∞$ sowie $p_1$ → 0, $p_2$ → 0, usw.

Nomenklaturhinweise zu WDF und VTF

Man verwendet zur Beschreibung wertkontinuierlicher Zufallsgrößen gemäß den Definitionen im Buch „Stochastische Signaltheorie” gleichermaßen (beachten Sie die Einträge in der Grafik):

• Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF, englisch: Probability Density Function, PDF):

$$f_X(x_0)= \lim_{{\rm \Delta} x\to \rm 0}\frac{p_{{\rm \Delta} x}}{{\rm \Delta} x} = \lim_{{\rm \Delta} x\to \rm 0}\frac{{\rm Pr} \{ x_0- {\rm \Delta} x/\rm 2 \le \it X \le x_{\rm 0} +{\rm \Delta} x/\rm 2\}}{{\rm \Delta} x}.$$

In Worten: Der WDF–Wert bei $x_0$ gibt die Wahrscheinlichkeit $p_{Δx}$ an, dass die Zufallsgröße $X$ in einem (unendlich kleinen) Intervall der Breite $Δx$ um $x_0$ liegt, dividiert durch $Δx$.

• Mittelwert (Moment erster Ordnung, englisch: Mean Value bzw. Expectation Value):

$$m_1 = {\rm E}[ X]= \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.1cm} x \cdot f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}.$$

• Varianz (Zentralmoment zweiter Ordnung, englisch: Variance):

$$\sigma^2 = {\rm E}[(X- m_1 )^2]= \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.1cm} (x- m_1 )^2 \cdot f_X(x- m_1 ) \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}.$$

• Verteilungsfunktion (VTF, englisch: Cumulative Distribution Function, CDF):

$$F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} \hspace{-0.1cm}f_X(\xi) \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X \le x)\hspace{0.05cm}.$$

Beachten Sie, dass sowohl die WDF–Fläche als auch der VTF–Endwert stets gleich 1 sind.

Wir betrachten nun mit der Gleichverteilung einen wichtigen Sonderfall. Die Grafik zeigt den Verlauf zweier gleichverteilter Größen, die alle Werte zwischen 1 und 5 (Mittelwert $m_1$ = 3) mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen können. Links ist das Ergebnis eines Zufallsprozesses dargestellt, rechts ein deterministisches Signal („Sägezahn”) mit gleicher Amplitudenverteilung.

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gleichverteilung hat den unten skizzierten Verlauf:

$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.25cm}(x_{\rm max} - x_{\rm min})^{-1} \\ (x_{\rm max} - x_{\rm min})^{-1}/2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}l} {x_{\rm min} < x < x_{\rm max},} \\ x ={x_{\rm min} \hspace{0.1cm}{\rm und}\hspace{0.1cm}x = x_{\rm max},} \\ x > x_{\rm max}. \\ \end{array}$$

Es ergeben sich hier für den Mittelwert $m_1$ = ${\rm E}[X]$ und die Varianz $σ_2$ = ${\rm E}[(X – m_1)^2]$ folgende Gleichungen:

$$m_1 = \frac{x_[[:Template:\rm max]] + x_[[:Template:\rm min]]}{2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \sigma^2 = \frac{(x_[[:Template:\rm max]] - x_[[:Template:\rm min]])^2}{12}\hspace{0.05cm}.$$

Unten dargestellt ist die Verteilungsfunktion (VTF):

$$F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} \hspace{-0.1cm}f_X(\xi) \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X \le x)\hspace{0.05cm}.$$

Diese ist für $x ≤ x_{\rm min}$ identisch 0, steigt danach linear an und erreicht bei $x$ = $x_{\rm max}$ den VTF–Endwert 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallgröße $X$ einen Wert zwischen 3 und 4 annimmt, kann sowohl aus der WDF als auch aus der VTF ermittelt werden:

$${\rm Pr}(3 \le X \le 4) = \int_{3}^{4} \hspace{-0.1cm}f_X(\xi) \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi = 0.25\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Pr}(3 \le X \le 4) = F_X(4) - F_X(3) = 0.25\hspace{0.05cm}.$$

Weiterhin ist zu beachten:

• Das Ergebnis $X$ = 0 ist bei dieser Zufallsgröße ausgeschlossen ⇒ Pr($X$ = 0) = 0.
• Das Ergebnis $X$ = 4 ist dagegen durchaus möglich. Trotzdem gilt auch hier Pr($X$ = 4) = 0.

Entropie wertkontinuierlicher Zufallsgrößen nach Quantisierung

Wir betrachten nun eine wertkontinuierliche Zufallsgröße $X$ im Bereich von 0 bis 1.

• Wir quantisieren die kontinuierliche Zufallsgröße $X$, um die bisherige Entropieberechnung weiter anwenden zu können. Die so entstehende diskrete (quantisierte) Größe nennen wir $Z$.
• Die Quantisierungsstufenzahl sei $M$, so dass jedes Quantisierungsintervall $μ$ bei der vorliegenden WDF die Breite $Δ = 1/M$ aufweist. Die Intervallmitten bezeichnen wir mit $x_μ$.
• Die Wahrscheinlichkeit $p_μ$ = Pr($Z$ = $z_μ$) bezüglich $Z$ ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die kontinuierliche Zufallsgröße $X$ einen Wert zwischen $x_μ – Δ/2$ und $x_μ + Δ/2$ besitzt.
• Zunächst setzen wir $M$ = 2 und verdoppeln anschließend $M$ in jeder Iteration. Dadurch wird die Quantisierung zunehmend feiner. Im $n$–ten Versuch gilt dann $M$ = $2^n$ und $Δ$ = $2^{–n}$.

Die Grafik zeigt die Ergebnisse der ersten drei Versuche für eine dreieckförmige WDF (zwischen 0 und 1):

• $n = 1 ⇒ M = 2 ⇒ Δ = 1/2: H(Z) = 0.811$ bit,
• $n = 2 ⇒ M = 4 ⇒ Δ = 1/4: H(Z) = 1.749$ bit,
• $n = 3 ⇒ M = 8 ⇒ Δ = 1/8: H(Z) = 2.729$ bit.

Zudem können der Grafik noch folgende Größen entnommen werden, zum Beispiel für $Δ = 1/8$:

• Die Intervallmitten liegen bei $x_1 = 1/16, x_2 = 3/16, ... , x_8 = 15/16 ⇒ x_μ = Δ · (μ – 1/2)$.
• Die Intervallflächen ergeben sich zu $p_μ = Δ · f_X(x_μ) ⇒ p_8 = 1/8 · (7/8+1)/2 = 15/64$.
• Damit erhält man $P_Z(Z) = (1/64, 3/64, 5/64, 7/64, 9/64, 11/64, 13/64, 15/64)$.

Die Ergebnisse dieses Experiments interpretieren wir wie folgt:

• Die Entropie $H(Z)$ nimmt mit steigendem $M$ immer mehr zu.
• Der Grenzwert von $H(Z)$ für $M → ∞ ⇒ Δ → 0$ ist unendlich.
• Damit ist auch die Entropie $H(X)$ der wertkontinuierlichen Zufallsgröße $X$ unendlich groß.
• Daraus folgt: Die bisherige Entropie–Definition versagt hier.

Zur Verifizierung unseres empirischen Ergebnisses gehen wir von folgender Gleichung aus:

$$H(Z) = \hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{M} \hspace{0.2cm} p_{\mu} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\mu}}= \hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{M} \hspace{0.2cm} {\it \Delta} \cdot f_X(x_{\mu} ) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{{\it \Delta} \cdot f_X(x_{\mu} )}\hspace{0.05cm}.$$

• Wir spalten nun $H(Z) = S_1 + S_2$ in zwei Summen auf:

$$\begin{align*}S_1 \hspace{-0.15cm} & = \hspace{-0.15cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{{\it \Delta} } \cdot \hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{M} \hspace{0.02cm} {\it \Delta} \cdot f_X(x_{\mu} ) \approx - {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}[[:Template:\it \Delta]] \hspace{0.05cm},\\ S_2 \hspace{-0.15cm} & = \hspace{-0.15cm} \hspace{0.05cm} \sum_{\mu = 1}^{M} \hspace{0.2cm} f_X(x_{\mu} ) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{ f_X(x_{\mu} ) } \cdot {\it \Delta} \hspace{0.2cm}\approx \hspace{0.2cm} \int_{0}^{1} \hspace{0.05cm} f_X(x) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{ f_X(x) } \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Die Näherung $S_1 ≈ –\log_2 Δ$ gilt exakt nur im Grenzfall $Δ → 0$. Die angegebene Näherung für $S_2$ gilt ebenfalls nur für kleine $Δ → {\rm d}x$, so dass man die Summe durch das Integral ersetzen kann.

Verallgemeinerung: Nähert man die wertkontinuierliche Zufallsgröße $X$ mit der WDF $f_X(x)$ durch eine wertdiskrete Zufallsgröße $Z$ an, indem man eine (feine) Quantisierung mit der Intervallbreite $Δ$ durchführt, so erhält man für die Entropie der Zufallsgröße $Z$:

$$H(Z) \approx - {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}[[:Template:\it \Delta]] \hspace{0.2cm}+ \hspace{-0.35cm} \int\limits_{{\rm supp}(f_X)} \hspace{-0.35cm} f_X(x) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{ f_X(x) } \hspace{0.1cm}{\rm d}x = - {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}[[:Template:\it \Delta]] \hspace{0.2cm} + h(X) \hspace{0.5cm}[{\rm in \hspace{0.15cm}bit}] \hspace{0.05cm}.$$

Das Integral beschreibt die differentielle Entropie $h(X)$ der wertkontinuierlichen Zufallsgröße $X$. Für den Sonderfall $Δ = 1/M = 2^{–n}$ kann die obige Gleichung auch wie folgt geschrieben werden:

$$H(Z) = n + h(X) \hspace{0.5cm}[{\rm in \hspace{0.15cm}bit}] \hspace{0.05cm}.$$

• Im Grenzfall $Δ → 0 ⇒ M → ∞ ⇒ n → ∞$ ist auch die Entropie der wertkontinuierlichen Zufallsgröße unendlich groß: $H(X) → ∞$.
• Auch bei kleinerem $n$ stellt diese Gleichung lediglich eine Näherung für $H(Z)$ dar, wobei die differentielle Entropie $h(X)$ der wertkontinuierlichen Größe als Korrekturfaktor dient.

Wir betrachten wie im letzten Beispiel eine Dreieck–WDF (zwischen 0 und 1). Deren differentielle Entropie ergibt sich zu $h(X)$ = –0.279 bit – siehe Aufgabe A4.2. In der Tabelle ist die Entropie $H(Z)$ der mit $n$ Bit quantisierten Größe $Z$ angegeben. Man erkennt bereits für $n$ = 3 eine gute Übereinstimmung zwischen der Näherung (untere Zeile) und der exakten Berechnung.

Definition und Eigenschaften der differentiellen Entropie

Die differentielle Entropie $h(X)$ einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße $X$ lautet mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_X(x)$:

$$h(X) = \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}(f_X)} \hspace{-0.35cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} [ f_X(x) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.6cm}{\rm mit}\hspace{0.6cm} {\rm supp}(f_X) = \{ x: f_X(x) > 0 \} \hspace{0.05cm}.$$

Hinzugefügt werden muss jeweils eine Pseudo–Einheit:

• „nat” bei Verwendung von „ln” ⇒ natürlicher Logarithmus,
• „bit” bei Verwendung von „log2” ⇒ Logarithmus dualis.

Während für die (herkömmliche) Entropie einer wertdiskreten Zufallsgröße $X$ stets $H(X) ≥ 0$ gilt, kann die differentielle Entropie $h(X)$ einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße auch negativ sein. Daraus ist bereits ersichtlich, dass $h(X)$ im Gegensatz zu $H(X)$ nicht als „Unsicherheit” interpretiert werden kann.

Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte einer zwischen $x_{\rm min}$ und $x_{\rm max}$ gleichverteilten Zufallsgröße $X$. Für deren differentielle Entropie erhält man in „nat”:

$$\begin{align*}h(X) \hspace{-0.18cm} & = \hspace{-0.18cm} - \hspace{-0.18cm}\int\limits_{x_{\rm min}}^{x_{\rm max}} \hspace{-0.28cm} \frac{1}{x_{\rm max}\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}x_{\rm min}} \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} [ \frac{1}{x_{\rm max}\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}x_{\rm min}} ] \hspace{0.1cm}{\rm d}x & = \hspace{-0.18cm} {\rm ln} \hspace{0.1cm} [ {x_{\rm max}\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}x_{\rm min}} ] \cdot [ \frac{1}{x_{\rm max}\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}x_{\rm min}} ]_{x_{\rm min}}^{x_{\rm max}}={\rm ln} \hspace{0.1cm} [ {x_{\rm max}\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}x_{\rm min}} ]\hspace{0.05cm}.\end{align*} $$

Die Gleichung für die differentielle Entropie in „bit” lautet: $h(X) = \log_2 [x_{\rm max} – x_{ \rm min}]$.

Die Grafik zeigt anhand einiger Beispiele die numerische Auswertung des obigen Ergebnisses. Auf der nächsten Seite wird auf die Größen $h_1(X), ... , h_6(X)$ näher eingegangen.

Aus den Skizzen des letzten Beispiels lassen sich wichtige Eigenschaften der differentiellen Entropie $h(X)$ ablesen:

• Die differentielle Entropie wird durch eine WDF–Verschiebung (um $k$) nicht verändert:

$$h(X + k) = h(X) \hspace{1.7cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} h_3(X) = h_4(X) = h_5(X) \hspace{0.05cm}.$$

• $h(X)$ ändert sich durch Stauchung/Spreizung der WDF um den Faktor $k ≠ 0$ wie folgt:

$$h( k\hspace{-0.05cm} \cdot \hspace{-0.05cm}X) = h(X) + {\rm log}_2 \hspace{0.05cm} |k|\hspace{0.15cm}\Rightarrow \hspace{0.15cm} h_6(X) = h_5(AX) = h_5(X) + {\rm log}_2 \hspace{0.05cm} (A) = {\rm log}_2 \hspace{0.05cm} (2A) \hspace{0.05cm}.$$

Des Weiteren gelten viele der in Kapitel 3 für den wertdiskreten Fall hergeleitete Gleichungen auch für wertkontinuierliche Zufallsgrößen. Aus der folgenden Zusammenstellung erkennt man, dass oft nur das „$H$” durch ein „$h$” sowie die PMF durch die entsprechende WDF zu ersetzen ist.

• Bedingte differentielle Entropie (englisch: Conditional Differential Entropy):

$$H(X \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} Y) = {\rm E} \hspace{-0.1cm}\left [ {\rm log} \hspace{0.1cm}\frac{1}{P_{\hspace{0.03cm}X \mid \hspace{0.03cm} Y} (X \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} Y)}\right ]=\hspace{-0.4cm} \sum_{(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}P_{XY}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.8cm} P_{XY}(x, y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.03cm}X \mid \hspace{0.03cm} Y} (x \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} y)} \hspace{0.05cm}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(X \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} Y) = {\rm E} \hspace{-0.1cm}\left [ {\rm log} \hspace{0.1cm}\frac{1}{f_{\hspace{0.03cm}X \mid \hspace{0.03cm} Y} (X \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} Y)}\right ]=\hspace{0.2cm} \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.4cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_{XY}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{f_{\hspace{0.03cm}X \mid \hspace{0.03cm} Y} (x \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} y)} \hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$

• Differentielle Verbundentropie (englisch: Joint Differential Entropy):

$$H(XY) = {\rm E} \left [ {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{XY}(X, Y)}\right ] =\hspace{-0.4cm} \sum_{(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}P_{XY}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.8cm} P_{XY}(x, y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{ P_{XY}(x, y)} \hspace{0.05cm}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(XY) = {\rm E} \left [ {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{f_{XY}(X, Y)}\right ] =\hspace{0.2cm} \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.4cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_{XY}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{ f_{XY}(x, y) } \hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$

• Kettenregel der differentiellen Entropie:

$$H(X_1\hspace{0.05cm}X_2\hspace{0.05cm}... \hspace{0.1cm}X_n) =\sum_{i = 1}^{n} H(X_i | X_1\hspace{0.05cm}X_2\hspace{0.05cm}... \hspace{0.1cm}X_{i-1}) \le \sum_{i = 1}^{n} H(X_i) \hspace{0.05cm}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(X_1\hspace{0.05cm}X_2\hspace{0.05cm}... \hspace{0.1cm}X_n) =\sum_{i = 1}^{n} h(X_i | X_1\hspace{0.05cm}X_2\hspace{0.05cm}... \hspace{0.1cm}X_{i-1}) \le \sum_{i = 1}^{n} h(X_i) \hspace{0.05cm}.$$

• Kullback–Leibler–Distanz zwischen den Zufallsgrößen $X$ und $Y$:

$$D(P_X \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}P_Y) = {\rm E} \left [ {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{P_X(X)}{P_Y(X)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{x \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}P_{X})\hspace{-0.8cm}} P_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{P_X(x)}{P_Y(x)} \ge 0$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}D(f_X \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}f_Y) = {\rm E} \left [ {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{f_X(X)}{f_Y(X)}\right ] \hspace{0.2cm}= \hspace{-0.4cm}\int\limits_{x \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_{X}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.4cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{f_X(x)}{f_Y(x)} \hspace{0.15cm}{\rm d}x \ge 0 \hspace{0.05cm}.$$

Differentielle Entropie einiger spitzenwertbegrenzter Zufallsgrößen

Die Tabelle zeigt die Ergebnisse für drei beispielhafte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $f_X(x)$. Diese sind alle spitzenwertbegrenzt, das heißt, es gilt jeweils $|X| ≤ A$.

[[File: P_ID2867__Inf_A_4_1.png|Differentielle Entropie spitzenwertbegrenzter Zufallsgrößen]]

Bei Spitzenwertbegrenzung kann man die differentielle Entropie stets wie folgt darstellen:

$$h(X) = {\rm log}\,\, ({\it \Gamma}_{\rm A} \cdot A).$$

Das Argument $Γ_A · A$ ist unabhängig davon, welchen Logarithmus man verwendet. Anzufügen ist

• bei Verwendung von „ln” ist die Pseudo–Einheit „nat”,
• bei Verwendung von „log2” ist die Pseudo–Einheit „bit”.

Theorem: Unter der Nebenbedingung Spitzenwertbegrenzung (englisch: Peak Constraint) ⇒ also WDF $f_X(x) = 0$ für $|x| > A$ – führt die Gleichverteilung zur maximalen differentiellen Entropie:

$$h_{\rm max}(X) = {\rm log} \hspace{0.1cm} (2A)\hspace{0.05cm}.$$

Beweis

Das Theorem bedeutet gleichzeitig, dass bei jeder anderen spitzenwertbegrenzten WDF (außer der Gleichverteilung) der Kennparameter $Γ_A$ kleiner als 2 sein wird.

• Für die symmetrische Dreieckverteilung ergibt sich nach obiger Tabelle $Γ_A = e^{1/2} ≈ 1.649$.
• Beim einseitigen Dreieck (zwischen 0 und $A$) ist demgegenüber $Γ_A$ nur halb so groß.
• Auch für jedes andere Dreieck (Breite $A$, Spitze beliebig zwischen 0 und $A$) gilt $Γ_A ≈ 0.824$.

Die jeweils zweite $h(X)$–Angabe und die Kenngröße $Γ_L$ eignet sich dagegen für den Vergleich von Zufallsgrößen bei Leistungsbegrenzung – siehe nächste Seite. Unter dieser Nebenbedingung ist die symmetrische Dreieckverteilung $(Γ_L ≈ 16.31)$ besser als die Gleichverteilung $(Γ_L = 12)$.

Differentielle Entropie einiger leistungsbegrenzter Zufallsgrößen

Die differentielle Entropie $h(X)$ für drei beispielhafte Dichtefunktionen $f_X(x)$, die alle die gleiche Varianz $σ_2 = {\rm E}[|X –m_x|^2]$ ⇒ Streuung $σ$ aufweisen, sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:

• Gaußverteilung ⇒ siehe Buch „Stochastische Signaltheorie”, Kapitel 3.5,
• Laplaceverteilung ⇒ siehe Buch „Stochastische Signaltheorie”, Kapitel 3.6,
• Exponentialverteilung ⇒ siehe Buch „Stochastische Signaltheorie”, Kapitel 3.6.

Die differentielle Entropie lässt sich bei allen diesen Beispielen als

$$h(X) = 1/2 \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} ({\it \Gamma}_{\rm L} \cdot \sigma^2)$$

darstellen. Das Ergebnis unterscheidet sich nur durch die Pseudo–Einheit „nat” bei Verwendung von „ln” bzw. „bit” bei Verwendung von „log2”.

Theorem: Unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung (englisch: Power Constraint) führt die Gaußverteilung

$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \cdot {\rm exp} \left [ - \hspace{0.05cm}\frac{(x - m_1)^2}{2 \sigma^2}\right ]$$

unabhängig vom Mittelwert $m_1$ zur maximalen differentiellen Entropie:

$$h(X) = 1/2 \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} (2\pi{\rm e} \cdot \sigma^2)\hspace{0.05cm}.$$

Beweis

Dies bedeutet gleichzeitig, dass für jede andere WDF als die Gaußverteilung $Γ_L < 2πe ≈ 17.08$ gelten muss. Beispielsweise ergibt sich der Kennwert $Γ_L = 6e ≈ 16.31$ für die Dreieckverteilung, $Γ_L = 2e^2 ≈ 14.78$ für die Laplaceverteilung und $Γ_L = 12$ für die Gleichverteilung.

WDF–Herleitung für maximale differentielle Entropie

Beweis für Spitzenwertbegrenzung ⇒ $\mathbf{|X| ≤ A}$: Unter der Nebenbedingung des Spitzenwertbegrenzung gilt für die differentielle Entropie:

$$h(X) = \hspace{0.1cm} \hspace{0.05cm} \int_{-A}^{+A} \hspace{0.05cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{ f_X(x) } \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}.$$

Von allen möglichen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $f_X(x)$, die die Bedingung

$$\int_{-A}^{+A} \hspace{0.05cm} f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x = 1$$

erfüllen, ist nun diejenige Funktion $g_X(x)$ gesucht, die zur maximalen differentiellen Entropie $h(X)$ führt. Zur Herleitung benutzen wir das Verfahren der Lagrange–Multiplikatoren:

• Wir definieren die Lagrange–Kenngröße $L$ in der Weise, dass darin sowohl $h(X)$ als auch die Nebenbedingung $|X| ≤ A$ enthalten sind:

$$L= \hspace{0.1cm} \hspace{0.05cm} \int_{-A}^{+A} \hspace{0.05cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{ f_X(x) } \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.5cm}+ \hspace{0.5cm} \lambda \cdot \int_{-A}^{+A} \hspace{0.05cm} f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}.$$

• Wir setzen allgemein $f_X(x) = g_X(x) + ε · ε_X(x)$, wobei $ε_X(x)$ eine beliebige Funktion darstellt, mit der Einschränkung, dass die WDF–Fläche gleich 1 sein muss. Damit erhalten wir:

$$\begin{align*}L \hspace{-0.15cm} & = \hspace{-0.15cm} \hspace{0.1cm} \hspace{0.05cm} \int_{-A}^{+A} \hspace{0.05cm} [ g_X(x) + \varepsilon \cdot \varepsilon_X(x) ] \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{ g_X(x) + \varepsilon \cdot \varepsilon_X(x) } \hspace{0.1cm}{\rm d}x + \\ & + \hspace{-0.15cm}\lambda \cdot \int_{-A}^{+A} \hspace{0.05cm} [ g_X(x) + \varepsilon \cdot \varepsilon_X(x) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

• Die bestmögliche Funktion ergibt sich dann, wenn es für $ε = 0$ eine stationäre Lösung gibt:

$$\left [\frac{{\rm d}L}{{\rm d}\varepsilon} \right ]_{\varepsilon \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}0}=\hspace{0.1cm} \hspace{0.05cm} \int_{-A}^{+A} \hspace{0.05cm} \varepsilon_X(x) \cdot \left [ {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{ g_X(x) } -1 \right ]\hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.3cm} + \hspace{0.3cm}\lambda \cdot \int_{-A}^{+A} \hspace{0.05cm} \varepsilon_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x \stackrel{!}{=} 0 \hspace{0.05cm}.$$

• Diese Bedingungsgleichung ist unabhängig von $ε_X$ nur dann zu erfüllen, wenn gilt:

$${\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{ g_X(x) } -1 + \lambda = 0 \hspace{0.4cm} \forall x \in [-A, +A]\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} g_X(x) = {\rm const.}\hspace{0.4cm} \forall x \in [-A, +A]\hspace{0.05cm}.$$

Resümee: Die maximale differentielle Entropie ergibt sich unter der Nebenbedingung $\mathbf{|X| ≤ A}$ für die gleichverteilte Zufallsgröße (englisch: Uniform PDF):

$$h_{\rm max}(X) = {\rm log} \hspace{0.1cm} ({\it \Gamma}_{\rm A} \cdot A) = {\rm log} \hspace{0.1cm} (2A) \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} {\it \Gamma}_{\rm A} = 2 \hspace{0.05cm}.$$

Jede andere Zufallsgröße mit der WDF–Eigenschaft $f_X(|x| > A)$ = 0 führt zu einer kleineren differentiellen Entropie, gekennzeichnet durch den Parameter $Γ_A$ < 2.

Beweis für Leistungsbegrenzung ⇒ $\mathbf{{\rm E}[|X – m_1|^2] ≤ σ^2}$: Vorneweg zur Begriffserklärung: Eigentlich wird nicht die Leistung ⇒ das zweite Moment $m_2$ begrenzt, sondern das zweite Zentralmoment ⇒ Varianz $μ_2 = σ^2$. Lassen wir nur mittelwertfreie Zufallsgrößen zu, so umgehen wir das Problem. Damit lautet die Laplace–Kenngröße:

$$L= \hspace{0.1cm} \hspace{0.05cm} \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.1cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{ f_X(x) } \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} \lambda_1 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.1cm} f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} \lambda_2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.1cm} x^2 \cdot f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}.$$

Nach ähnlichem Vorgehen wie im Fall der Spitzenwertbegrenzung erhält man das Ergebnis, dass die „bestmögliche” WDF $g_X(x)$ proportinonal zu ${\rm exp}(–λ_2 · x^2)$ sein muss ⇒ Gaußverteilung:

$$g_X(x) ={1}/{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \cdot {\rm exp} \left ( - \hspace{0.05cm}{x^2}/{(2 \sigma^2)}\right )\hspace{0.05cm}.$$

Wir verwenden hier aber für den expliziten Beweis zur Abwechslung die Kullback–Leibler–Distanz zwischen einer geeigneten allgemeinen WDF $f_X(x)$ und der Gauß–WDF $g_X(x)$:

$$D(f_X \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}g_X) = \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{0.02cm} f_X(x) \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} \frac{f_X(x)}{g_X(x)} \hspace{0.1cm}{\rm d}x = -h(X) - I_2$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}I_2 = \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{0.02cm} f_X(x) \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} {g_X(x)} \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}.$$

Zur Vereinfachung wurde hier der natürliche Logarithmus verwendet. Damit erhalten wir:

$$I_2 = - \frac{1}{2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} (2\pi\sigma^2) \cdot \hspace{-0.1cm}\int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.4cm} f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.3cm}- \hspace{0.3cm} \frac{1}{2\sigma^2} \cdot \hspace{-0.1cm}\int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{0.02cm} x^2 \cdot f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}.$$

Das erste Integral ist definitionsgemäß gleich 1 und das zweite Integral ergibt $σ^2$:

$$I_2 = - {1}/{2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} (2\pi\sigma^2) - {1}/{2} \cdot [{\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e})] = - {1}/{2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} (2\pi{\rm e} \cdot \sigma^2)$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm} D(f_X \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}g_X) = -h(X) - I_2 = -h(X) + {1}/{2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} (2\pi{\rm e} \cdot \sigma^2)\hspace{0.05cm}.$$

Da auch bei wertkontinuierlichen Zufallsgrößen die Kullback–Leibler–Distanz größer oder gleich 0 ist, erhält man nach Verallgemeinerung (ln ⇒ log):

$$h(X) \le {1}/{2} \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} (2\pi{\rm e} \cdot \sigma^2)\hspace{0.05cm}.$$

Das Gleichzeichen gilt nur, wenn die Zufallsgröße $X$ gaußverteilt ist.

Resümee: Die maximale differentielle Entropie unter der Nebenbedingung $\mathbf{|X – m_1|^2 ≤ σ^2}$ ergibt sich für die Gaußverteilung (englisch: Gaussian PDF) unabhängig vom Mittelwert $m_1$:

$$h_{\rm max}(X) = {1}/{2} \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} ({\it \Gamma}_{\hspace{-0.1cm} \rm L} \cdot \sigma^2) = {1}/{2} \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} (2\pi{\rm e} \cdot \sigma^2) \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} {\it \Gamma}_{\rm L} = 2\pi{\rm e} \hspace{0.05cm}.$$

Jede andere wertkontinuierliche Zufallsgröße $X$ mit Varianz ${\rm E}[|X – m_1|^2] ≤ σ^2$ führt zu einer kleineren differentiellen Entropie, gekennzeichnet durch die Kenngröße $Γ_L < 2πe$.