Exercise 2.2Z: Discrete Random Variables

Gegeben seien drei diskrete Zufallsgrößen a, b und c, die als die Momentanwerte der dargestellten Signale definiert seien. Diese besitzen folgende Eigenschaften:

Die Zufallsgröße $a$ kann die Werte +1 und -1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.

Auch die Zufallsgröße $b$ ist zweipunktverteilt, aber mit $Pr(b = 1) = p$ und $Pr(b = 0) = 1 - p$.

Die Wahrscheinlichkeiten der Größe $c$ seien $Pr(c = 0) = 1/2$, $Pr(c = +1) = Pr(c = -1) =1/4$.

Zwischen diesen drei Zufallsgrößen bestehen keine statistischen Abhängigkeiten.

Aus den Zufallsgrößen $a$, $b$ und $c$ wird eine weitere Zufallsvariable $d$ gebildet:

$$d=a-\rm 2\it b+c.$$

Die Grafik zeigt Ausschnitte dieser vier Zufallsgrößen. Es ist zu erkennen, dass $d$ alle ganzzahligen Werte zwischen -4 und +2 annehmen kann.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf Kapitel 2.2. Eine Zusammenfassung bietet das folgende Lernvideo:

Fragebogen

$\sigma_a$ =

$p\ =\ 0.25:\ \ \sigma_b$ =

$\sigma_c$ =

$p\ =\ 0.25:\ \ \ m_d$ = -

$p\ =\ 0.25:\ \ \ m_\text{2d}$ =

$p\ =\ 0.25:\ \ \ \sigma_d$ =

Musterlösung

Solution

1. Aufgrund der Symmetrie gilt:

$$\rm \it m_{\it a}=\rm 0; \hspace{0.5cm}\it m_{\rm 2\it a}=\rm 0.5\cdot (-1)^2 + 0.5\cdot (1)^2{ = 1}.$$

Daraus erhält man mit dem Satz von Steiner:

$$\it\sigma_a^{\rm 2} = \rm\sqrt{1-0^2}=1 \hspace{0.5cm}bzw. \hspace{0.5cm}\it\sigma_a\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 1}.$$

2. Allgemein gilt für das Moment k-ter Ordnung:

$$ \it m_{\it k}=(\rm 1-\it p)\rm \cdot 0^{\it k} + \it p\cdot \rm 1^{\it k}=\it p.$$

Daraus folgt mit p = 1/4:

$$\it m_{\it b}= \it m_{\rm 2\it b}= \it p, \hspace{0.5cm} \it \sigma_{\it b}=\sqrt{\it p\cdot (\rm 1- p)}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 0.433} .$$

3. Für die Zufallsgröße c gilt:

$$\rm \it m_{\it c} = \rm 0\hspace{0.1cm} (symmetrisch\hspace{0.1cm}um\hspace{0.1cm}0), \hspace{0.5cm}\it m_{\rm 2\it c}= \rm \frac{1}{4}\cdot(-1)^2+\frac{1}{2}\cdot 0^2+\frac{1}{4}\cdot (1)^2=\frac{1}{2}.$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_{\it c}=\rm \sqrt{1/2}\hspace{0.15cm} \underline{=0.707}.$$

4. Nach den allgemeinen Regeln für Erwartungswerte gilt mit p = 0.25:

$$m_{\it d} = \rm E[\it a-\rm 2\it b+\it c]=\rm E[\it a] \hspace{0.1cm} -\hspace{0.1cm}\rm 2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\rm E[\it b]\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\rm E[\it c] \\ = \it m_{\it a}\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}\rm 2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\it m_{\it b}\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\it m_{\it c} = \rm 0-2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\it p + \rm 0 \hspace{0.15cm} \underline{= -0.5}.$$

5. Analog zu Punkt 4. erhält man für den quadratischen Mittelwert:

$$m_{\rm 2\it d}=\rm E[( a-\rm 2\it b+\it c)^{\rm 2}] = \rm E[\it a^{\rm 2}]\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\rm 4\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\rm E[\it b^{\rm 2}]\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\rm E[\rm \it c^{\rm 2}]\hspace{0.1cm}\\ - \hspace{0.1cm}\rm 4\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\rm E[\it a\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b]\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\rm 2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\rm E[\it a\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}c]\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}\rm 4\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\rm E[\it b\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}c].$$

Da aber a und b statistisch voneinander unabhängig sind, gilt auch:

$$\rm E[\it a\cdot b] = \rm E[\it a] \cdot \rm E[\it b]= \it m_{\it a}\cdot \it m_{\it b} = \rm 0, \hspace{0.1cm} da\hspace{0.1cm} \it m_{\it a}=\rm 0.$$

Gleiches gilt für die anderen gemischten Terme. Daher erhält man mit p = 0.25:

$$ \it m_{\rm 2\it d}=\it m_{\rm 2\it a}+\rm 4\cdot\it m_{\rm 2\it b}+\it m_{\rm 2\it c}=\rm 1+4\cdot \it p+\rm 0.5\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 2.5}.$$

6. Für allgemeines p bzw. für p = 0.25 ergibt sich:

$$\it \sigma_{\it d}^{\rm 2}=\rm1.5+4\cdot \it p - \rm 4 \cdot \it p^{\rm 2}=\rm 2.25 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \it \sigma_{\it d}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 1.5}.$$

Die maximale Varianz ergäbe sich für p = 0.5 zu σ_d² = 2.5.