Exercise 4.09Z: Periodic ACF

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Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess {$x_i(t)$}, der durch die dargestellte Musterfunktion $x(t)$ vollständig charakterisiert ist.<br> Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses {$x_i(t)$} erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen $\tau_i$, wobei $\tau_i$ als gleichverteilt zwischen 0 und der Periodendauer $T_0$ angenommen wird.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.4.

Fragebogen

1

Ermitteln Sie die Periodendauer T₀, normiert auf die Zeitdauer T.

$T_0/T$ =

2

Wie groß ist der Gleichsignalanteil (lineare Mittelwert) des Prozesses?

$m_x$ = V

3

Wie groß ist die (auf den Widerstand 1 Ω bezogene) Prozessleistung?

$P_x$ = $V^2$

4

Berechnen Sie die AKF-Werte für τ = T und τ = 2T.

$\phi_x(\tau = T)$ = $V^2$

$\phi_x(\tau = 2T)$ = - $V^2$

5

Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Berücksichtigung von Symmetrieen. Welche Werte ergeben sich für τ = 3T und τ = 4T?

$\phi_x(\tau = 3T)$ = - $V^2$

$\phi_x(\tau = 4T)$ = $V^2$

6

Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bezüglich aller τ-Werte.
Interpretieren Sie das Ergebnis.

$E[\phi_x(\tau)]$ = $V^2$

Musterlösung

Solution

1.  Die Periodendauer beträgt T₀ = 5T.

2. Aufgrund der Periodizität genügt die Mittelung über eine Periodendauer T₀:

$$m_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x(t) \hspace{0.1cm}\rm d \it t \\ = \rm \frac{1}{5 \it T} (\rm 2V \cdot 2 \it T - \rm 1V \cdot 2 \it T) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.4 \,V}.$$

3. In analoger Weise zu Aufgabe 2) erhält man für die mittlere Leistung:

$$P_x = \rm \frac{2 \it T}{5 \it T} ((\rm 2V)^2 +(- \rm 1V)^2 )\hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 2 \,V^2}.$$

4. Die Bilder zeigen das Produkt x(t) · x(t + T) bzw. x(t) · x(t + 2T), jeweils im Bereich von 0 bis T₀ = 5T.

Zu beachten ist, dass x(t + T) eine Verschiebung des Signals x(t) um T nach links bedeutet. Aus den beiden Grafiken folgen die Beziehungen:

$$\varphi_x (T)= \rm \frac{1}{5 } (\rm 4V^2 + \rm 1V^2 - \rm 2V^2) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6\, V^2},$$

$$\varphi_x (\rm 2\it T)= \rm \frac{1}{5 } (-\rm 2V^2 \cdot 3) \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2}.$$

5.  Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade: φ_x(–τ) = φ_x(τ). Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit genau der gleichen Periodendauer T₀ wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:

$$\varphi_x (\rm 0) = \varphi_x (\rm 5\it T) = \varphi_x (\rm 10\it T) = .... = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$

$$\varphi_x (\rm 3\it T) = \varphi_x (\rm -3\it T) =\varphi_x (\rm 2\it T) = .... \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2},$$

$$\varphi_x (\rm 4\it T) = \varphi_x (\rm -4\it T) =\varphi_x (\rm \it T) = .... \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6 \,V^2}.$$

Die berechneten AKF-Werte können durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration über Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.

6.  Die Mittelung über die 5 Intervalle 0 bis T, T bis 2T, ... , 4T bis 5T liefern (jeweils mit der Einheit V²): 1.3; –0.3, –1.2, –0.3, 1.3. Daraus ergibt sich der Erwartungswert E[φ_x(τ)] = 0.16 V². Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes m_x (siehe Teilaufgabe 2).