Exercise 4.13Z: AMI Code

Zur Spektralanpassung (Formung) eines Digitalsignals an die Eigenschaften des Kanals verwendet man so genannte Pseudoternärcodes. Bei diesen Codes wird die binäre Quellensymbolfolge 〈q_ν〉 nach einer festen Vorschrift in eine Folge 〈c_ν〉 von Ternärsymbolen umgesetzt:

$$q_{\nu} \in \{ -1,\hspace{0.1cm} +1 \} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_{\nu} \in \{ -1, \hspace{0.1cm}0, \hspace{0.1cm}+1 \} .$$

Der bekannteste Vertreter der Pseudoternärcodes ist der AMI-Code (von Alternate Mark Inversion). Hier wird der Binärwert q_ν = –1 stets auf c_ν = 0 abgebildet, während q_ν = +1 abwechselnd (alternierend) durch die Ternärwerte c_ν = +1 und c_ν = –1 dargestellt wird. Vereinbarungsgemäß wird beim ersten Auftreten von q_ν = +1 das Ternärsymbol c_ν = +1 ausgewählt.

Weiter wird vorausgesetzt, dass die zwei möglichen Quellensymbole jeweils gleichwahrscheinlich sind und die Quellensymbolfolge 〈q_ν〉 keine inneren statistischen Bindungen aufweist. Somit sind alle diskreten AKF-Werte gleich 0 mit Ausnahme von φ_q(k = 0):

$$\varphi_q ( k \cdot T) = 0 \hspace{0.5cm} {\rm f alls} \hspace{0.5cm} k \not= 0.$$

T bezeichnet den Abstand der Quellen– bzw. Codesymbole. Verwenden Sie den Wert T = 1 μs.

Das Bild zeigt die gegebenen Autokorrelationsfunktionen. Bitte beachten Sie:

Rot eingezeichnet sind jeweils die zeitdiskreten Darstellungen A{φ_q(τ)} und A{φ_c(τ)} der Autokorrelationsfunktionen, jeweils mit dem Bezugswert T.

Die blau dargestellten Funktionen zeigen die zeitkontinuierlichen Verläufe φ_q(τ) und φ_c(τ) der AKF, wobei Rechtecksignale vorausgesetzt sind.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite Numerische Ermittlung des LDS im Kapitel 4.5. Benutzen Sie die folgende Fourierkorrespondenz

$${\rm \Delta} (t) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T).$$

Δ(t) bezeichnet einen um t = 0 symmetrischen Dreieckimpuls mit Δ(0) = 1 und Δ(t) = 0 für |t| ≥ T.

Fragebogen

φ_q(k = 0) =

	P{Φ_q(f)} ist für alle Frequenzen eine Konstante.
	Φ_q(f) ist für \|f · T\| < 0.5 konstant und außerhalb 0.
	Φ_q(f) verläuft si²- förmig.

$c_6$ =

φ_c(k = 0) =

φ_c(k = +1) =

φ_c(k = -1) =

$\phi_c(f = 0)$ =

$\phi_c(f = 500 kHz)$ =

$.10^{-6}\ 1/Hz$

Musterlösung

Solution

1. Der diskrete AKF-Wert für k = 0 gibt den quadratischen Mittelwert (hier gleich der Varianz) der Quellensymbole an. Da q_ν nur die Werte –1 und +1 annehmen kann, ist φ_q(k = 0) = 1.

2. Die zeitdiskrete AKF und deren Fouriertransformierte lauten:

$${\rm A} \{ \varphi_q ( \tau ) \} = \varphi_q ( k = 0) \cdot T \cdot \delta (\tau) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{\it \Phi_q}( f) \} = \varphi_q ( k = 0) \cdot T = T.$$

Es ist berücksichtigt, dass φ_q(k = 0) = σ_q² = 1 ist. Das bedeutet: Die periodische Fortsetzung von Φ_q(f) ergibt für alle Frequenzen den gleichen Wert.

Dagegen kann die zeitkontinuierliche AKF wie folgt dargestellt werden:

$$ \varphi_q ( \tau ) = {\rm A} \{ \varphi_q ( \tau ) \} \star ( {\rm \Delta} ( \tau) / T ).$$

Das dazugehörige Leistungsdichtespektrum (Fouriertransformierte der AKF) ist dann das Produkt der Fouriertransformierten der beiden Faltungsterme:

$$ {\it \Phi_q} ( f) = {\rm P} \{ {\it \Phi_q}( f) \} \cdot {\rm si}^2 (\pi f T ) = T \cdot {\rm si}^2 (\pi f T ) .$$

Aufgrund der gewählten AKF-Interpolation (mit Geradenabschnitten) aus ihren Abtastwerten ergibt sich ein si²-förmiges LDS. Ein rechteckförmiges Spektrum (Lösungsvorschlag 2) würde sich nur bei <nobr>si-förmiger</nobr> Interpolation einstellen. Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3.

3. Die codierte Folge lautet: +1, 0, –1, +1, 0, –1, +1, 0, 0, 0. Das 6. Symbol ist somit c₆ = –1.

4. Die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Werte –1, 0 und +1 sind 0.25, 0.5, 0.25. Daraus folgt:

$$\varphi_c ( k = 0) = 0.25 \cdot (-1)^2 + 0.5 \cdot 0^2 +0.25 \cdot (+1)^2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}. $$

5. Für den AKF-Wert bei k = 1 betrachtet man das Produkt c_ν · c_ν+1. Es ergeben sich die unten gezeigten Kombinationen. Einen Beitrag liefern nur Produkte c_ν · c_ν+1 ≠ 0 mit Pr[c_ν ∩ c_ν+1] ≠ 0:

$$\varphi_c ( k = 1) = {\rm Pr} \left ( ( c_{\nu} = +1) \cap ( c_{\nu + 1} = -1) \right ) \cdot (+1) \cdot (-1) \\ + {\rm Pr} \left ( ( c_{\nu} = -1) \cap ( c_{\nu + 1} = +1) \right ) \cdot (-1) \cdot (+1).$$

In der Tabelle sind diese Terme rot gekennzeichnet. Weiter gilt:

$$ {\rm Pr} \left ( ( c_{\nu} = +1) \cap ( c_{\nu + 1} = -1) \right ) = {\rm Pr} ( c_{\nu} = +1) \cdot {\rm Pr} \left ( c_{\nu + 1} = -1\hspace{0.1cm} | \hspace{0.1cm}c_{\nu } = +1) \right ) \\ = {1}/{4} \hspace{0.1cm}\cdot\hspace{0.1cm} {1}/{2}\hspace{0.1cm} =\hspace{0.1cm} {1}/{8} . $$

Hierbei ist vorausgesetzt, dass „+1“ mit der Wahrscheinlichkeit 0.25 auftritt und danach „–1“ nur in der Hälfte der Fälle folgt. Das gleiche Ergebnis erhält man für den zweiten Beitrag. Damit gilt:

$$\varphi_c ( k = 1) = \frac {1}{8} \cdot (+1)\cdot (-1) + \frac {1}{8} \cdot (-1)\cdot (+1) \hspace{0.15cm}\underline{= -0.25}.$$

Für k = –1 ergibt sich aus Symmetriegründen der gleiche Wert. Zur Berechnung von φ_c(k = 2) muss über 3³ = 27 Kombinationen gemittelt werden. Das Ergebnis ist jedoch Null.

6. Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF A{φ_c(τ)} lautet:

$$P \{{\it \Phi_c}( f) \} = T\cdot \varphi_c ( k = 0) +2T \cdot \varphi_c ( k = 1) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T ).$$

Mit dem Ergebnis von 5) folgt daraus:

$$P \{{\it \Phi}_c( f) \} = \frac {T}{2} (1 - {\rm cos} ( 2 \pi f T ) )= T \cdot {\rm sin}^2 ( \pi f T ).$$

Wie unter Punkt (b) gezeigt, gilt dann für das LDS – also die Fouriertransformierte von φ_c(τ):

$${\it \Phi_c}( f) = T \cdot {\rm sin}^2 ( \pi f T ) \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T ) = T \cdot \frac {{\rm sin}^4 ( \pi f T )}{( \pi f T )^2 } .$$

Bei der Frequenz f = 0 ergibt sich der Wert 0. Für f = 500 kHz erhält man f · T = 0.5 und somit:

$${\it \Phi_c}( f = {\rm500 \hspace{0.1cm}kHz}) = T \cdot \frac {{\rm sin}^4 ( \pi /2 )}{( \pi /2 )^2 } = \frac {4 T}{\pi^2} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.405 \cdot 10^{-6} {1}/{Hz}}.$$