Linear Nyquist Equalization

Struktur des optimalen Nyquistentzerrers

In diesem Abschnitt gehen wir von folgendem Blockschaltbild eines Binärsystems aus.

Hierzu ist anzumerken:

Die Diracquelle liefert die zu übertragende Nachricht (Amplitudenkoeffizienten a_ν) in binärer bipolarer Form. Sie wird als redundanzfrei vorausgesetzt.

Die Sendeimpulsform g_s(t) wird durch den Senderfrequenzgang H_S(f) berücksichtigt. Bei allen Beispielen ist H_S(f) = si(π f T) zugrunde gelegt.

Bei manchen Herleitungen werden Sender und Kanal – hierfür wird meist ein Koaxialkabel angenommen – durch den gemeinsamen Frequenzgang H_SK(f) = H_S(f) · H_K(f) zusammengefasst.

Das Empfangsfilter H_E(f) setzt sich multiplikativ aus dem Matched–Filter H_MF(f) = H_SK^∗(f) und dem Transversalfilter H_TF(f) zusammen, zumindest kann es gedanklich so aufgespalten werden.

Der Gesamtfrequenzgang zwischen der Diracquelle und dem Schwellenwertentscheider soll die erste Nyquistbedingung erfüllen. Es muss also gelten:

\[H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f) = H_{\rm Nyq}(f) \hspace{0.05cm}.\]

Mit dieser Bedingung ergibt sich die maximale Augenöffnung (keine Impulsinterferenzen). Deshalb gelten für das Detektions–SNR und den Systemwirkungsgrad bei binärer Signalisierung:

\[\rho_d = \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{\sigma_d^2} = \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{N_0}\cdot \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta = \frac{\rho_d }{\rho_{d,\hspace{0.05cm} {\rm max}}} = \frac{\rho_d }{2 \cdot s_0^2 \cdot T/N_0} = \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2} \hspace{0.05cm}.\]

Die Optimierungsaufgabe beschränkt sich also darauf, das Empfangsfilter H_E(f) so zu bestimmen, dass die normierte Rauschleistung vor dem Entscheider den kleinstmöglichen Wert annimmt:

\[\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = \frac{\sigma_d^2}{N_0/ T} =T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f \stackrel {!}{=} {\rm Minimum}\hspace{0.05cm}.\]

Wir bezeichnen die Konfiguration als Optimale Nyquistentzerrung (ONE). Obwohl diese auch – und besonders effektiv – bei Mehrstufensystemen anwendbar ist, setzen wir zunächst M = 2.

Wirkungsweise des Transversalfilters (1)

Verdeutlichen wir uns zunächst die Aufgabe des symmetrischen Transversalfilters

\[H_{\rm TF}(f) \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.4cm} h_{\rm TF}(t) = \sum_{\lambda = -N}^{+N} k_\lambda \cdot \delta(t - \lambda \cdot T) \hspace{0.05cm}.\]

N gibt die Ordnung des Filters an. Für die Filterkoeffizienten gilt k_–λ = k_λ. Dieses Filter ist somit durch die Koeffizienten k₀, ... , k_N vollständig bestimmt. Die Grafik zeigt ein Filter zweiter Ordnung (N = 2).

Für den Eingangsimpuls g_m(t) setzen wir ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit voraus, dass dieser

symmetrisch um t = 0 ist (Ausgang des Matched–Filters),
zu den Zeiten νT und –νT den Wert g_m(ν) besitzt.

Damit sind die Eingangsimpulswerte:

\[...\hspace{0.2cm} , g_m(3),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}\hspace {0.15cm}g_m(0),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(3),\hspace{0.1cm} ... \hspace{0.05cm}.\]

Für den Detektionsgrundimpuls g_d(t) am Filterausgang ergeben sich demzufolge zu den Zeitpunkten νT mit den Abkürzungen g₀ = g_d(t = 0), g₁ = g_d(t = ±T), g₂ = g_d(t = ±2T) folgende Werte:

\[ t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0 = k_0 \cdot g_m(0) + k_1 \cdot 2 \cdot g_m(1) \hspace{1.23cm}+k_2 \cdot 2 \cdot g_m(2),\hspace{0.05cm} \] \[ t = \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1 = k_0 \cdot g_m(1) + k_1 \cdot [g_m(0)+g_m(2)]+ k_2 \cdot [g_m(1)+g_m(3)], \] \[ t = \pm 2T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2 = k_0 \cdot g_m(2) + k_1 \cdot [g_m(1)+g_m(3)]+ k_2 \cdot [g_m(2)+g_m(4)] \hspace{0.05cm}. \]

Aus diesem System mit drei linear unabhängigen Gleichungen kann man nun die Filterkoeffizienten k₀, k₁ und k₂ so bestimmen, dass der Detektionsgrundimpuls g_d(t) durch die normierten Stützstellen

\[...\hspace{0.15cm} , g_3,\hspace{0.25cm}g_2 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_1 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_0 = 1,\hspace{0.15cm}g_1 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_2 = 0 ,\hspace{0.25cm}g_3 ,\hspace{0.15cm} ...\]

vollständig gegeben ist. Auf der nächsten Seite wird die Optimierung der Filterkoeffizienten an einem einfachen Beispiel verdeutlicht.

Wirkungsweise des Transversalfilters (2)

: Wir gehen von dem symmetrischen Eingangssignal entsprechend dem oberen Diagramm aus. Mit der Abkürzung g_m(ν) = g_m(± ν · T) gibt es folgende Abtastwerte im Abstand der Symboldauer T:

\[g_m(t) = {\rm exp }\left ( - \sqrt{2 \cdot |t|/T}\right )\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} g_m(0) = 1 ,\hspace{0.15cm}g_m(1)= 0.243,\hspace{0.15cm}g_m(2)= 0.135,\hspace{0.15cm}g_m(3)= 0.086, \hspace{0.15cm}g_m(4)= 0.059 \hspace{0.05cm}.\]

Für den Ausgangsimpuls soll g_d(0) = 1 und g_d(±T) = 0 gelten. Hierzu eignet sich ein Laufzeitfilter erster Ordnung mit den Koeffizienten k₀ und k₁, die folgende Bedingungen erfüllen müssen:

\[t = \pm T\hspace{-0.1cm} : \hspace{0.2cm}g_1 = k_0 \cdot 0.243 + k_1 \cdot [1.000 +0.135] = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{k_1} = -0.214 \cdot {k_0}\hspace{0.05cm},\] \[ t = 0 \hspace{-0.1cm} : \hspace{0.2cm}g_0 = k_0 \cdot 1.000 + k_1 \cdot 2 \cdot 0.243= 1\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}0.896 \cdot {k_0} = 1 \hspace{0.05cm}.\]

Daraus erhält man die optimalen Filterkoeffizienten k₀ = 1.116 und k₁ = 0.239. Das mittlere Diagramm zeigt, dass damit der erste Vorläufer und der erste Nachläufer kompensiert werden können und zugleich g_d(0) = 1 gilt (gelbe Hinterlegung). Die weiteren Detektionsgrundimpulswerte (blaue Kreise) sind aber von 0 verschieden und bewirken Impulsinterferenzen.

Das untere Diagramm zeigt, dass mit einem Filter zweiter Ordnung (N = 2) Nulldurchgänge bei ±T und bei ±2T erzwungen werden, wenn die Koeffizienten k₀ = 1.127, k₁ = 0.219 und k₂ = 0.075 geeignet gewählt sind. Das Gleichungssystem zur Bestimmung der optimalen Koeffizienten lautet dabei:

\[t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0 = k_0 \cdot 1.000 + k_1 \cdot 2 \cdot 0.243 + k_2 \cdot 2 \cdot 0.135 = 1\hspace{0.05cm},\\ t= \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1 = k_0 \cdot 0.243 + k_1 \cdot [1.000+0.135]+ k_2 \cdot [0.243+0.086] = 0\hspace{0.05cm}, \\ t = \pm 2 T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2 = k_0 \cdot 0.135 + k_1 \cdot [0.243+0.086]+ k_2 \cdot [1.000 + 0.059]= 0 \hspace{0.05cm}.\]

Die Ergebnisse können wie folgt verallgemeinert werden:

Mit einem Laufzeitfilter N–ter Ordnung können der Hauptwert g_d(0) zu 1 (normiert) sowie die ersten N Nachläufer und die ersten N Vorläufer zu Null gemacht werden.

Weitere Vor– und Nachläufer (|ν| > N) lassen sich so nicht kompensieren. Es ist auch möglich, dass diese außerhalb des Kompensationsbereichs vergrößert werden oder sogar neu entstehen.

Im Grenzübergang N → ∞ (in der Praxis heißt das: ein Filter mit sehr vielen Koeffizienten) ist eine vollständige Nyquistentzerrung und damit eine impulsinterferenzfreie Übertragung möglich.

Beschreibung im Frequenzbereich (1)

Die Tatsache, dass sich der optimale Nyquistentzerrer multiplikativ aus

dem Matched–Filter H_MF(f) = H_S^∗(f) · H_K^∗(f) – also angepasst an den Empfangsgrundimpuls –

und einem Transversalfilter H_TF(f) mit unendlich vielen Filterkoeffizienten

zusammensetzt, folgt aus dem ersten Nyquistkriterium. Durch Anwendung der Variationsrechnung erhält man den Frequenzgang des Transversalfilters (siehe Söder, G.; Tröndle, K.: Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme. Berlin – Heidelberg: Springer, 1985.):

\[H_{\rm TF}(f) = \frac{1}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - \frac{\kappa}{T}) |^2} \hspace{0.3cm}{\rm{mit}}\hspace{0.3cm}H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f)\cdot H_{\rm K}(f) \hspace{0.05cm}.\]

Die Grafik zeigt diesen Verlauf in logarithmierter Form für rechteckförmige NRZ–Sendeimpulse und ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung

a_∗ = 0 dB ⇒ grüne Null–Linie,
a_∗ = 40 dB ⇒ blauer Funktionsverlauf,
a_∗ = 80 dB ⇒ roter Funktionsverlauf.

Man erkennt aus obiger Gleichung und dieser Skizze:

H_TF(f) ist reell, woraus sich die symmetrische Struktur des Transversalfilters ergibt: k_–λ = k_λ.

H_TF(f) ist eine mit der Frequenz 1/T periodische Funktion.

Die Koeffizienten ergeben sich somit aus der Fourierreihe (angewandt auf die Spektralfunktion):

\[k_\lambda =T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)}\frac{\cos(2 \pi f \lambda T)} {\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - {\kappa}/{T}) |^2} \hspace{0.2cm} {\rm d} f \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm}H_{\rm TF}(f) = \sum\limits_{\lambda = -\infty}^{+\infty} k_\lambda \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f \lambda T}\hspace{0.05cm}.\]

Die Bildbeschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.

Beschreibung im Frequenzbereich (2)

Die linke Grafik zeigt den Verlauf 20 · lg H_TF(f) im Bereich | f | ≤ 1/T. Rechts ist der Frequenzgang 20 · lg |H_E(f)| des gesamten Empfangsfilters einschließlich Matched–Filter dargestellt. Es gilt:

\[H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f) = \frac{H_{\rm SK}^{^\star}(f)}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - {\kappa}/{T}) |^2}.\]

Zu diesen Darstellungen ist anzumerken:

Der Transversalfilter–Frequenzgang H_TF(f) ist symmetrisch zur Nyquistfrequenz f_Nyq = 1/(2T). Diese Symmetrie ist beim Empfangsfilter–Gesamtfrequenzgang H_E(f) nicht mehr gegeben.
Die Maxima der Frequenzgänge H_TF(f) und |H_E(f)| hängen signifikant von der charakteristischen Kabeldämpfung ab. Es gilt:

\[a_{\star} = 40\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}[H_{\rm TF}(f)]\hspace{0.1cm} \approx 80\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\rm Max}[|H_{\rm E}(f)|] \approx 40\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},\]

\[a_{\star} = 80\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}[H_{\rm TF}(f)] \approx 160\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\rm Max}[|H_{\rm E}(f)|] \approx 80\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.\]

Für a_∗ = 0 dB (idealer Kanal) kann auf das Transversalfilter verzichtet werden und es gilt, wie bereits im Kapitel 1.2 hergeleitet:

\[H_{\rm E}(f) =H_{\rm S}(f) = {\rm si} (\pi f T)\hspace{0.05cm}.\]

Approximation des optimalen Nyquistentzerrers

Betrachten wir nun den Gesamtfrequenzgang zwischen der Diracquelle und dem Entscheider. Dieser setzt sich multiplikativ aus den Frequenzgängen von Sender, Kanal und Empfänger zusammen. Entsprechend der Herleitung muss der Gesamtfrequenzgang die Nyquistbedingung erfüllen:

\[H_{\rm Nyq}(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f) = \frac{|H_{\rm SK}(f)|^2}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - {\kappa}/{T}) |^2}\hspace{0.05cm}.\]

Die Grafik zeigt folgende Eigenschaften des optimalen Nyquistfilters:

Ist die Kabeldämpfung hinreichend groß (a_∗ > 10 dB), so kann der Gesamtfrequenzgang mit sehr guter Näherung durch einen Cosinus–Rolloff–Tiefpass beschrieben werden.

Je größer a_∗ ist, desto kleiner ist der Rolloff–Faktor und um so steiler verläuft der Flankenabfall. Für die charakteristische Kabeldämpfung a_∗ = 40 dB ergibt sich r ≈ 0.4, für 80 dB ist r ≈ 0.18.

Oberhalb der Frequenz f_Nyq · (1 + r) besitzt H_Nyq(f) keine Anteile. Bei idealem Kanal – also für a_∗ = 0 dB – reicht H_Nyq(f) = si²(πfT) allerdings theoretisch bis ins Unendliche (grüne Kurve).

Mit dem folgenden Interaktionsmodul können Sie sich den Cosinus–Rolloff–Tiefpass im Frequenz– und Zeitbereich verdeutlichen:
Tiefpässe im Frequenz- und Zeitbereich

Berechnung der normierten Störleistung

Betrachten wir nun noch die (normierte) Störleistung am Entscheider. Für diese gilt:

\[\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = \frac{\sigma_d^2}{N_0/ (2T)} =T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f .\]

Das linke Bild zeigt |H_E(f)|² im linearen Maßstab für die charakteristische Kabeldämpfung a_∗ = 80 dB.

Beachten Sie, dass |H_E(f = 0)| = 1 ist. Da die Frequenz auf 1/T normiert wurde, entspricht die normierte Störleistung genau der (rot hinterlegten) Fläche unter dieser Kurve. Die numerische Auswertung ergibt:

\[\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = 1.68 \cdot 10^7 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 \approx 72.25\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.\]

Es kann gezeigt werden, dass die normierte Störleistung auch mit dem Transversalfilter–Frequenzgang H_TF(f) berechnet werden kann, wie in der rechten Grafik dargestellt:

\[\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} H_{\rm TF}(f) \,{\rm d} f \hspace{0.3cm}(= k_0)\hspace{0.05cm}.\]

Die roten Flächen sind in beiden Bildern exakt gleich. Man erkennt auch, dass der mittlere Koeffizient k₀ gleich der normierten Störleistung ist. In der zweiten Spalte der nachfolgenden Tabelle ist 10 · lg (k₀) in Abhängigkeit der charakteristischen Kabeldämpfung angegeben. Aufgrund der gewählten Normierung gilt diese Tabelle auch für redundanzfreie Mehrstufensysteme; M bezeichnet hierbei die Stufenzahl.

Die Koeffizienten k₁, k₂, k₃, ... des Transversalfilters weisen für a_∗ ≠ 0 alternierende Vorzeichen auf. Für a_∗ = 40 dB sind vier Koeffizienten betragsmäßig größer als k₀/10, für a_∗ = 80 dB sogar sieben.