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Distanzspektrum eines linearen Codes (1)
Wir gehen weiterhin von einem linearen und binären (n, k)–Blockcode C aus. Ein wesentliches Ziel des Codedesigns ist es, die Blockfehlerwahrscheinlichkeit Pr(υ ≠ u) = Pr(z ≠ x) möglichst gering zu halten. Dies erreicht man unter anderem dadurch, dass
- die minimale Distanz dmin zwischen zwei Codeworten x und x' möglichst groß ist, so dass man bis zu t = ⌊(dmin–1)/2⌋ Bitfehler richtig korrigieren kann;
- gleichzeitig die minimale Distanz dmin ⇒ worst–case möglichst selten auftritt, wenn man alle zulässigen Codeworte berücksichtigt.
\[W_i(\underline{x}) = \left | \hspace{0.05cm} \left \{ \underline{x} \hspace{0.05cm}, \underline{x}{\hspace{0.03cm}' \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}|\hspace{0.1cm} d_{\rm H}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}' ) = i \right \} \hspace{0.05cm} \right |\hspace{0.05cm}.\]
Man bezeichnet diesen Wert auch als Vielfachheit (englisch: Multiplicity).
Die Betragsstriche kennzeichnen hierbei die Anzahl der Codeworte x', die die Bedingung { ... } erfüllen.
\[{ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 \\ 0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.\]
Die nachfolgende Tabelle zeigt die Hamming–Distanzen zwischen allen Codeworten x mit den vier möglichen Bezugsworten x0, ... , x3.
Man erkennt, dass unabhängig vom Bezugswort xi gilt:
\[W_0 = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} W_1 = W_2 = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}W_3 = 2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} W_4 = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} d_{\rm min} = 3\hspace{0.05cm}.\]
Distanzspektrum eines linearen Codes (2)
Nicht nur im letzten Beispiel, sondern bei jedem linearen Code ergeben sich für jedes Codewort die gleichen Vielfachheiten Wi. Da zudem das Nullwort 0 = (0, 0, ..., 0) Bestandteil eines jeden linearen Binärcodes ist, lässt sich die Definition der letzten Seite auch wie folgt formulieren:
\[\left \{ \hspace{0.05cm} W_i \hspace{0.05cm} \right \} \hspace{0.3cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3cm} W(X) = \sum_{i=0 }^{n} W_i \cdot Xi^{i} = W_0 + W_1 \cdot X + W_2 \cdot X^{2} + ... \hspace{0.05cm} + W_n \cdot X^{n}\hspace{0.05cm}.\]
Man bezeichnet W(X) auch als Gewichtsfunktion (englisch: Weight Enumerator Function, WEF).
Beispielsweise lautet die Gewichtsfunktion des (5, 2)–Codes
\[\mathcal{C} = \left \{ \hspace{0.05cm}(0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} (0, 1, 0, 1, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 0, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 1, 1, 0, 1) \hspace{0.05cm} \right \}\]
vom Beispiel auf der letzten Seite
\[W(X) = 1 + 2 \cdot X^{3} + X^{4}\hspace{0.05cm}.\]
Wie aus der Tabelle seiner Codeworte hervorgeht, erhält man für den (7, 4, 3)–Hamming–Code:
\[W(X) = 1 + 7 \cdot X^{3} + 7 \cdot X^{4} + X^{7}\hspace{0.05cm}.\]
Die Überführung des Distanzspektrums {Wi} in die Gewichtsfunktion W(X) bietet zudem bei manchen Aufgabenstellungen große numerische Vorteile. Ist beispielsweise die Weight Enumerator Function W(X) eines (n, k)–Blockcodes bekannt, so gilt für die WEF des hierzu dualen (n, n–k)–Codes CDual:
\[W_{\rm Dual}(X) = \frac{(1+X)^n}{2^k} \cdot W \left ( \frac{1-X}{1+X} \right )\hspace{0.05cm}.\]
\[W_{\rm SPC(6,\hspace{0.08cm}5)}(X) = 1 + 15 \cdot X^{2} + 15 \cdot X^{4} + X^{6}\hspace{0.05cm}.\]
Unter Berücksichtigung obiger Gleichung kommt man sehr viel schneller zum gleichen Ergebnis:
- Der zu SPC (6, 5) duale Code ist der Repetition Code RC (6, 1) mit nur zwei Codeworten (0, 0, 0, 0, 0, 0) und (1, 1, 1, 1, 1, 1), die sich in keiner bzw. allen Bitpositionen unterscheiden:
- \[W_{\rm RC(6,\hspace{0.08cm}1)}(X) = 1 + X^{6}\hspace{0.05cm}.\]
- Daraus folgt für die Gewichtsfunktion des SPC (6, 5) nach obiger Gleichung mit k = 1:
- \[W_{\rm SPC(6,\hspace{0.08cm}5)}(X) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{(1+X)^6}{2^1} \cdot W \left [1 + \left ( (1-X)/(1+X)\right )^6 \right ] = \]
- \[\hspace{2.5cm} = \hspace{-0.15cm} 1/2 \cdot \left [( 1+X) ^6 + ( 1-X) ^6 \right ] = 1 + 15 \cdot X^{2} + 15 \cdot X^{4} + X^{6}\hspace{0.05cm}.\]
Union Bound der Blockfehlerwahrscheinlichkeit
Wir betrachten wie im Beispiel zum Distanzspektrum den (5, 2)–Blockcode C = {x0, x1, x2, x3} und setzen voraus, dass das Codewort x0 gesendet wurde. Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt).
Im fehlerfreien Fall würde dann der Codewortschätzer z = x0 liefern. Andernfalls käme es zu einem Blockfehler (das heißt z ≠ x und dementsprechend υ ≠ u) mit der Wahrscheinlichkeit
\[{\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}\left ([\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] \hspace{0.05cm}\cup\hspace{0.05cm}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}] \hspace{0.05cm}\cup\hspace{0.05cm}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}] \right ) \hspace{0.05cm}.\]
Das Ereignis „Verfälschung von x0 nach x1” tritt für ein gegebenes Empfangswort y entsprechend der ML–Entscheidungsregel genau dann ein, wenn für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gilt:
\[[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] \hspace{0.3cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.3cm} f(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0}\hspace{0.02cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y}) < f(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}\hspace{0.02cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y}) \hspace{0.05cm}.\]
Da [x0 → x1], [x0 → x2], [x0 → x3] nicht notwendigerweise disjunkte Ereignisse sind (die sich somit gegenseitig ausschließen würden), ist die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge kleiner oder gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten:
\[{\rm Pr(Blockfehler)} \le {\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm}{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}] \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}] \hspace{0.05cm}.\]
Man nennt diese obere Schranke für die (Block–)Fehlerwahrscheinlichkeit die Union Bound. Diese wurde bereits im Kapitel 4.3 des Buches „Digitalsignalübertragung” verwendet.
Verallgemeinern und formalisieren wir diese Ergebnisse (sowohl x als auch x' gehören zum Code C):
Blockfehlerwahrscheinlichkeit
\[{\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr} \left ( \bigcup_{\underline{x}' \ne \underline{x}} \hspace{0.15cm} [\underline{x} \mapsto \underline{x}'] \right )\hspace{0.05cm},\]
Obere Schranke nach der Union Bound:
\[{\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)} \le \sum_{\underline{x}' \ne \underline{x}} \hspace{0.15cm} {\rm Pr}[\underline{x} \mapsto \underline{x}'] \hspace{0.05cm},\]
Paarweise Fehlerwahrscheinlichkeit (nach dem MAP– bzw. ML–Kriterium):
\[{\rm Pr}\hspace{0.02cm}[\underline{x} \mapsto \underline{x}'] = {\rm Pr} \left [ f(\underline{x}\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y}) \le f(\underline{x}'\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y}) \right ] \hspace{0.05cm}.\]
Auf den nächsten Seiten werden diese Ergebnisse auf verschiedene Kanäle angewendet.
Union Bound für das BSC–Modell
Wir betrachten weiterhin den beispielhaften (5, 2)–Code:
Für den digitalen Kanal verwenden wir das BSC–Modell (Binary Symmetric Channel):
\[{\rm Pr}(y = 1 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}x = 0 ) \hspace{-0.15cm} = {\rm Pr}(y = 0 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}x = 1 ) = {\rm Pr}(e = 1) = \varepsilon \hspace{0.05cm},\] \[{\rm Pr}(y = 0 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}x = 0 ) \hspace{-0.15cm} = {\rm Pr}(y = 1 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}x = 1 ) = {\rm Pr}(e = 0) = 1 -\varepsilon \hspace{0.05cm}.\]
Die beiden Codeworte x0 = (0, 0, 0, 0, 0) und x1 = (0, 1, 0, 1, 1) unterscheiden sich in genau d = 3 Bitpositionen, wobei d die Hamming–Distanz zwischen x0 und x1 angibt. Ein falsches Decodierergebnis [x0 → x1] erhält man immer dann, wenn mindestens zwei der drei Bit an den Bitpositionen 2, 4 und 5 verfälscht werden. Die Bitpositionen 1 und 3 spielen hier dagegen keine Rolle, da diese für x0 und x1 gleich sind. Da der betrachtete Code t = ⌊(d–1)/2⌋ = 1 Fehler korrigieren kann, gilt:
\[{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sum_{i=t+1 }^{d} {d \choose i} \cdot \varepsilon^{i} \cdot (1 - \varepsilon)^{d-i} = {3 \choose 2} \cdot \varepsilon^{2} \cdot (1 - \varepsilon) + {3 \choose 3} \cdot \varepsilon^{3} =\] \[\hspace{1cm} = \hspace{-0.1cm} 3 \cdot \varepsilon^2 \cdot (1 - \varepsilon) + \varepsilon^3 = {\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}]\hspace{0.05cm}.\]
Die Codeworte x0 und x3 unterscheiden sich in vier Bitpositionen. Zu einer falschen Decodierung des Blocks kommt es deshalb mit Sicherheit, wenn vier oder drei Bit verfälscht werden. Eine Verfälschung von zwei Bit hat mit 50–prozentiger Wahrscheinlichkeit ebenfalls einen Blockfehler zur Folge, wenn man hierfür eine Zufallsentscheidung voraussetzt:
\[{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}] = \varepsilon^4 + 4 \cdot \varepsilon^3 \cdot (1 - \varepsilon) + {1}/{2} \cdot 6 \cdot \varepsilon^2 \cdot (1 - \varepsilon)^2 \hspace{0.05cm}.\]
Daraus ergibt sich für die „Union Bound”:
\[{\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)} = {\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] +{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm} \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}] +{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm} \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}] \ge {\rm Pr(Blockfehler)} .\]
In der Tabelle sind die Ergebnisse für verschiedene Werte des BSC–Parameters ε zusammengefasst:
Zu erwähnen ist, dass die völlig unterschiedlich zu berechnenden Wahrscheinlichkeiten Pr(x0 → x1) und Pr(x0 → x3) genau das gleiche Ergebnis liefern.
