Error Correction According to Reed-Solomon Coding

1. Channel Coding
2. Reed–Solomon–Codes und deren Decodierung
3. Error Correction According to Reed-Solomon Coding

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Blockschaltbild und Voraussetzungen zu Kapitel 2.5

Wie im Kapitel 2.4 betrachten wir ein Übertragungssystem mit Reed–Solomon–Codierung, das durch die beiden Codeparameter n = 2^m – 1 und k gekennzeichnet ist. Mit der Generatormatrix G lautet der Zusammenhang zwischen dem Informationswort u und dem Codewort c:

\[\underline {c} = {\rm enc}(\underline {u}) = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} \hspace{0.3cm} {\rm mit} \hspace{0.3cm}\underline {u} = (u_0, u_1, ... \hspace{0.05cm}, u_i, ...\hspace{0.05cm}, u_{k-1})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline {c} = (c_0, c_1, ... \hspace{0.05cm}, c_i, ...\hspace{0.05cm}, c_{n-1}) \hspace{0.05cm}.\]

Sowohl die Informationssymbole u_i als auch die Codesymbole c_i entstammen dem Körper GF(q) mit q = n + 1 = 2^m, und sind somit durch m Binärsymbole (Bit) darstellbar.

Ein Vergleich dieses Blockschaltbildes mit dem entsprechenden Modell zu Kapitel 2.4 zeigt:

• Der wesentliche Unterschied liegt im verwendeten diskreten Kanalmodell (grün hinterlegt). Anstelle des Auslöschungskanals („m–BEC”) wird nun der m–BSC betrachtet. Für jedes einzelne Bit des Codesymbols c_i wird der Binary Symmetric Channel (BSC) angewandt. Ist auch nur ein Bit innerhalb des Codesymbols verfälscht, so ist y_i ≠ c_i.
  

• Im Kapitel 2.4 sind unsichere Bit bereits durch Auslöschungen E (Erasures) markiert. Aufgabe des Codewortfinders (CWF) ist es deshalb, aus dem verstümmelten Empfangswort y das Decodierergebnis z zu rekonstruieren. Ist die Anzahl e der Auslöschungen kleiner als die minimale Distanz d_min, so gelingt dies und man erhält z = c. Andernfalls meldet der CWF, dass er das aktuelle Empfangswort y nicht decodieren kann. Eine Fehlentscheidung (z ≠ c) ist ausgeschlossen.
  

• In diesem Kapitel wird nun der erste Decoderblock als Codewortschätzer (CWS) bezeichnet. Die Namensgebung soll deutlich machen, dass aufgrund des m–BSC–Modells Fehlentscheidungen (z ≠ c) unvermeidlich sind, nämlich dann, wenn durch mehrere Symbolfehler das Empfangswort y zu einem gültigen Codewort verfälscht wurde.
  
  

Aufgabe des Decoders ist es, seinen Ausgangsvektor υ so zu bestimmen, dass er „möglichst gut” mit dem Informationswort u übereinstimmt. Oder etwas genauer formuliert:

\[{ \rm Pr(Blockfehler)} = { \rm Pr}( \underline{\upsilon} \ne \underline{u}) \stackrel{!}{=} { \rm Minimum}\hspace{0.05cm}.\]

Aufgrund des deterministischen Mappings c = enc(u) und υ = enc^–1(z) gilt in gleicher Weise:

\[{ \rm Pr(Blockfehler)} = { \rm Pr}( \underline{z} \ne \underline{c}) \stackrel{!}{=} { \rm Minimum}\hspace{0.05cm}.\]

Deshalb werden im Folgenden die zwei gelb hinterlegten Blöcke nicht weiter betrachtet. Im Mittelpunkt der Betrachtungen steht vielmehr der rot hinterlegte Codewortschätzer (CWS).

Mögliche Codewortschätzer: HD–MLD bzw. BDD (1)

Die rechte Skizze der nachfolgenden Grafik verdeutlicht nochmals die Aufgabenstellung, wobei hier das Kanalmodell „m–BSC” durch den additiven Fehlervektor e = y – c ersetzt ist. Die linke Skizze verdeutlicht den Zusammenhang zwischen diesen drei Vektoren.

Diese Aufgabenstellung soll durch ein Beispiel verdeutlicht werden.

:

Alle nachfolgend genannten Symbole sind Elemente von GF(2³) = {0, 1, α¹, α², α³, α⁴, α⁵, α⁶}. Zur Umrechnung zwischen der Koeffizientendarstellung (mit der Reihenfolge k₂, k₁, k₀) und der Exponentendarstellung (als Potenzen des primitiven Elements α) kann die nebenstehende Tabelle verwendet werden.

Codewort und Empfangswort lauten in Koeffizientendarstellung:

\[\underline{c} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \Big ( (010), (001), (100),(010),(100),(111),(111)\Big )\hspace{0.05cm},\] \[\underline{y} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \Big ( (011), (001), (000),(010),(100),(111),(111)\Big )\hspace{0.05cm}.\]

Damit ergibt sich für den Fehlervektor e = y – c:

\[\underline{e} \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm} \Big ( (001), (000), (100), (000),(000),(000),(000)\Big )\hspace{0.05cm}.\]

Umgewandelt in die Exponentendarstellung erhält man:

\[\underline{c} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \Big ( \alpha^1, 1, \alpha^2,\alpha^1,\alpha^2,\alpha^5,\alpha^5\Big )\hspace{0.05cm},\]

\[\underline{y} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \Big ( \alpha^3, 1, \hspace{0.09cm}0\hspace{0.09cm},\alpha^1,\alpha^2,\alpha^5,\alpha^5\Big ) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{e} = \Big ( \hspace{0.05cm}1, \hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm}\alpha^2,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm}\Big )\hspace{0.05cm}.\]

Aufgabe des Codewortschätzers (CWS) ist es, das zu y wahrscheinlichste Codewort c_i zu finden und sein Ergebnis z = c_i an das nachfolgende Mapping weiterzugeben. Es gibt verschiedene Möglichkeiten:

• Hard Decision Maximum Likelihood Decoding (HD–MLD),
  

• Bounded Distance Decoding (BDD),
  

• Decodierung über die halbe Mindestdistanz.
  
  

Diese Decodierprinzipien werden auf der nächsten Seite ausführlicher behandelt.

Mögliche Codewortschätzer: HD–MLD bzw. BDD (2)

Aufgabe des Codewortschätzers (CWS) ist es, das zu y wahrscheinlichste Codewort c_i zu finden und sein Ergebnis z = c_i weiterzugeben. Hierfür gibt es mehrere Möglichkeiten:

Hard Decision Maximum Likelihood Decoding (HD–MLD):

Man wählt von allen möglichen Reed–Solomon–Codeworten c_i (hiervon gibt es insgesamt q^k) dasjenige mit der geringsten Hamming–Distanz zum Empfangswort y aus. Somit lautet das Ergebnis:

\[\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}_{\rm RS}} \hspace{0.1cm} d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{c}_{\hspace{0.03cm}i})\hspace{0.05cm}.\]

Die Entscheidung passiert hier auf der maximalen Rückschlusswahrscheinlichkeit Pr(c_i | y) und führt zum bestmöglichen Ergebnis. Näheres siehe Kapitel 1.2. Es wird stets entschieden, selbst wenn die Anzahl r der Symbolfehler größer ist als die Korrekturfähigkeit t des Codes. In einem solchen Fall ist allerdings das Decodierergebnis sehr unsicher.

Es sei nochmals erwähnt, dass bei ML–Decodierung immer entschieden wird. Ein Decodierversagen ist ausgeschlossen. Aber natürlich gibt es auch falsche Entscheidungen.

Bounded Distance Decoding (BDD):

Falls die Anzahl r der Symbolfehler im Empfangswort y nicht größer ist als die Korrekturfähigkeit t = ⌊(d_min – 1)/2⌋ des Codes, kann man die r Symbolfehler vollständig korrigieren. Der Fall r > t führt zu einem Abbruch des Decodiervorgangs ohne Ergebnis. Anders ausgedrückt: Es werden nur diejenigen Empfangsworte zum Kugelmittelpunkt decodiert, die in einer Kugel um diesen mit Radius t liegen. Andere werden als undecodierbar markiert, zum Beispiel als Erasure.

Decodierung über die halbe Mindestdistanz:

Hier wird auch im Fall r > t versucht, das Codewort zu decodieren. Im Gegensatz zu HD–MLD, das ebenfalls über die halbe Mindestdistanz hinaus decodiert, ist hier aber ein Decodierversagen nicht per se ausgeschlossen.

Für den Rest dieses Kapitels beschäftigen wir uns ausschließlich mit Bounded Distance Decoding. Der Grund hierfür ist die enorme Komplexität der Maximum Likelihood Detection proportional zu q^n–k.

Vorgehensweise beim „Bounded Distance Decoding”

Im Folgenden werden die einzelnen Schritte des BDD–Algorithmuses kurz und rezeptartig beschrieben. Auf den nächsten Seiten werden dann die einzelnen Punkte genauer behandelt und die Vorgehensweise an typischen Beispielen verdeutlicht.

(A) Berechne das Syndrom s = y · H^T:

• Ergibt sich aus dem Empfangswort y und der Prüfmatrix H des Codes das Syndrom s = 0, so setze den BDD–Ausgang z = y und beende den Decodiervorgang für dieses Empfangswort.
  

• Andernfalls setze den Parameter r = 1 und mache mit Schritt (B) weiter.
  
  

(B) Bestimme die tatsächliche Symbolfehleranzahl r:

• Erstelle und überprüfe die Gleichungen Λ_l · s^T = 0 für l = 1, ..., 2t–r unter der Annahme, dass das Empfangswort genau r Symbolfehler beinhaltet.
  

• Λ_l bezeichnet die verallgemeinerten ELP–Koeffizientenvektoren und t die Korrekturfähigkeit des Codes. Für die Reed–Solomon–Codes gilt einheitlich t = ⌊(n – k)/2⌋.
  

• Gibt es eine eindeutige Lösung, dann mache mit Schritt (C) weiter. Im Empfangsvektor y sind dann tatsächlich genau r Symbole verfälscht und im Fehlervektor e gibt es r Einträge ungleich 0.
  

• Andernfalls erhöhe r um 1. Falls r ≤ t, dann wiederhole Schritt (B) von Beginn an: Das bisher angenommene r war offensichtlich zu klein. Deshalb nun ein neuer Versuch mit größerem r.
  

• Ist das neue r größer als die Korrekturfähigkeit t des Codes, so kann das aktuelle Empfangswort nicht decodiert werden. Beende den Decodierversuch mit einer Fehlermeldung.
  
  

(C) Lokalisiere die r Fehlerpositionen:

• Erstelle das Error Locator Polynom Λ(x) und finde dessen r Nullstellen in GF(q) \ {0}.
  

• Ein Fehler an der Stelle i liegt immer dann vor, wenn Λ(αⁱ) = 0 ist.
  
  

(D) Bestimme die r Fehlerwerte e_i ≠ 0:

• Bekannt sind die r Fehlerstellen. Ersetzt man im Empfangsvektor y die falschen Symbole durch Auslöschungen  ⇒  y_i = E, falls e_i ≠ 0, so findet man das Ergebnis z entsprechend Kapitel 2.4.
  

• Eine Alternative: Aus der Gleichung e · H^T = s kommt man unter Ausnutzung der fehlerfreien Stellen (e_i = 0) zu einem linearen Gleichungssystem für die fehlerhaften Symbole (e_i ≠ 0).
  
  

Schritt (A): Auswertung des Syndroms beim BDD

Wie in Kapitel 1.5 gezeigt, kann zur Decodierung eines linearen Codes das Syndrom s herangezogen werden. Mit dem Empfangswort y gleich Codewort c plus Fehlervektor e gilt für dieses:

\[\underline {s} = \underline {y} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}= \underline {c} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}+ \underline {e} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T} \hspace{0.05cm}.\]

Da stets c · H^T = 0 gilt, folgt aus s = 0 auch e · H^T = 0. Das heißt:

• Mit sehr großer Wahrscheinlichkeit kann aus s = 0 auch auf e = 0 und damit auch auf das richtige Decodierergebnis z = y geschlossen werden. Der Decodiervorgang wäre damit abgeschlossen.
  

• Es gibt aber auch Fehlermuster e ≠ 0, die zum Syndrom s = 0 führen. Solche Muster beinhalten sicher mehr als t Symbolfehler, so dass auch hier der Abbruch des Decodiervorgangs sinnvoll ist. Alle nachfolgenden Berechnungen würden auch nicht zum Erfolg führen.
  
  

A:

Diesem und den folgenden Beispielen auf den nächsten Seiten liegt stets der Reed–Solomon–Code (7, 3, 5)₈ zugrunde, so dass die hier angegebenen Umrechnungen in GF(2³) genutzt werden können. Das Empfangswort lautet:

\[\underline{y}=\big (\alpha^3,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0, \hspace{0.05cm}\alpha^1, \hspace{0.05cm} \alpha^2, \hspace{0.05cm} \alpha^5, \hspace{0.05cm} \alpha^5 \big).\]

Mit der Prüfmatrix H ergibt sich für das Syndrom:

\[\underline {s} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \underline {y} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}= \begin{pmatrix} \alpha^3, \hspace{0.05cm}1, \hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm}\alpha^1, \hspace{0.05cm}\alpha^2, \hspace{0.05cm}\alpha^5, \hspace{0.05cm}\alpha^5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 \\ \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 \\ \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^5 \\ \alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^5 & \alpha^2 \\ \alpha^5 & \alpha^3 & \alpha^1 & \alpha^6 \\ \alpha^6 & \alpha^5 & \alpha^4 & \alpha^3 \end{pmatrix} = \] \[ \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}(\alpha^3 , \alpha^3 , \alpha^3 , \alpha^3) + (\alpha^1 , \alpha^2 , \alpha^3 , \alpha^4) + (0,0,0,0) + (\alpha^4,1,\alpha^3,\alpha^6)+\] \[\hspace{0.15cm} + \hspace{0.15cm} (\alpha^6,\alpha^3,1,\alpha^4)+(\alpha^3,\alpha^1,\alpha^6,\alpha^4) + (\alpha^4,\alpha^3,\alpha^2,\alpha^1)= ... \hspace{0.05cm}= (\alpha^5,\alpha^2,\alpha^3,\alpha^1) \hspace{0.05cm}.\]

Das Empfangswort wurde also verfälscht. Andernfalls hätte sich s = 0 = (0, 0, 0, 0) ergeben müssen.

Die Beschreibung des Decodiervorgangs beim RSC (7, 3, 5)₈ wird im Beispiel B fortgesetzt.

Error Locator Polynom – Definition und Eigenschaften (1)

Nach der Syndromberechnung mit dem Ergebnis s ≠ 0 wissen wir,

• dass das Empfangswort y nicht mit dem Codewort c übereinstimmt, bzw.
  

• dass der Fehlervektor e = (e₀, e₁, ... , e_n–1) auch Elemente ungleich 0 beinhaltet.
  
  

Wir wissen allerdings nicht, wie viele Symbole verfälscht wurden (0 < r ≤ n) und wir können auch nicht die Positionen der Fehlerstellen (e_i ≠ 0) im Fehlervektor e nennen.

Einen Lösungsansatz für diese Aufgabe bietet das Error Locator Polynom, das von W. W. Peterson eingeführt wurde. Siehe [Pet60]. Im Deutschen ist hierfür auch der Begriff Schlüsselgleichung üblich.

: Es sei bekannt, dass genau r Elemente des Fehlervektors e ungleich 0 sind, erkennbar am Hamming–Gewicht w_H(e) = r. Ebenfalls bekannt sei die Menge I_FP der Fehlerpositionen:

\[I_{\rm FP} = \{ i \hspace{0.1cm}| \hspace{0.1cm} e_i \ne 0,\hspace{0.1cm} 0 \le i < n \}\hspace{0.05cm}.\]

Dann gilt für das Error Locator Polynom (ELP):

\[{\it \Lambda}(x)=x \cdot \prod_{i\hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} I_{\rm FP}}(x-\alpha^i) =x \cdot \big [{\it \lambda}_0 + \lambda_1 \cdot x+\ldots+{\it \lambda}_{r-1} \cdot x^{r-1}+x^r \big ].\]

Vom Error Locator Polynom wissen wir aufgrund der Definition:

• Wegen des Faktors x vor dem Produktzeichen ist Λ(x = 0) = 0.
  

• Weitere r Nullstellen ergeben sich für x = αⁱ mit i ∈ I_FP, das heißt, für alle Fehlerpositionen.
  

• Dagegen ergibt das Error Locator Polynom für i ∉ I_FP ⇒ e_i = 0 keine Nullstelle: Λ(x = αⁱ) ≠ 0.
  
  

Wir suchen also die r nichttrivialen Nullstellen von Λ(x) mit dem Argument x ∈ GF(q) \ {0}. Gelingt uns dies, so kennen wir die r Fehlerpositionen, jedoch noch nicht die tatsächlichen Fehlerwerte e_i ∈ GF(q).

:

Es gelte n = 7 ⇒ q = 8, r = 2 und I_FP = {2, 4}:

Damit erhält man für das Error Locator Poynom aus GF(2³):

\[{\it \Lambda}(x)\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm}x \cdot (x-\alpha^2) \cdot (x-\alpha^4)=\] \[ \hspace{1.1cm} = \hspace{0.15cm} x \cdot (x+\alpha^2) \cdot (x+\alpha^4) =\] \[ \hspace{1.1cm} = \hspace{0.15cm}x \cdot \big [x^2 + (\alpha^2 + \alpha^4) \cdot x + \alpha^6\big ] =\] \[ \hspace{1.1cm} = \hspace{0.15cm} x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha \cdot x + x^2\big ]\hspace{0.05cm}.\]

Die beiden Nullstellen (außer bei x = 0) ergeben sich hier natürlich für x = α² und x = α⁴, wie die folgende Kontrollrechnung zeigt:

\[{\it \Lambda}(x = \alpha^2)\hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha \cdot \alpha^2 + (\alpha^2)^2\big ] = x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha^3 + \alpha^4 \big ]= 0\hspace{0.05cm},\]

\[ {\it \Lambda}(x = \alpha^4)\hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha \cdot \alpha^4 + (\alpha^4)^2\big ] =x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha^5 + \alpha \big ]= 0\hspace{0.05cm}.\]

Error Locator Polynom – Definition und Eigenschaften (2)

Für die weitere Herleitung gehen wir stets vom RSC (7, 3, 5)₈ mit den folgenden Parameterwerten aus: n = 7, k = 3, d_min = 5  ⇒  t = (d_min – 1)/2 = 2. Die Anzahl der Symbolfehler sei r = 2 = t.

Damit lautet das zu lösende Gleichungssystem mit den Hilfsgrößen A_i = Λ(αⁱ):

\[A_0 = {\it \Lambda }(\alpha^0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^0 \cdot \left [ {\it \lambda}_0 + {\it \lambda}_1 \cdot (\alpha^0)^1 + (\alpha^0)^2 \right ] = {\it \lambda}_0 \cdot 1 + {\it \lambda}_1 \cdot 1 + 1 \hspace{0.05cm},\] \[A_1 = {\it \Lambda }(\alpha^1) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^1 \cdot \left [ {\it \lambda}_0 + {\it \lambda}_1 \cdot (\alpha^1)^1 + (\alpha^1)^2 \right ] = {\it \lambda}_0 \cdot \alpha^1+ {\it \lambda}_1 \cdot \alpha^2 + \alpha^3 \hspace{0.05cm},\]

\[...\]

\[ A_6 = {\it \Lambda }(\alpha^6) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^6 \cdot \left [ {\it \lambda}_0 + {\it \lambda}_1 \cdot (\alpha^6)^1 + (\alpha^6)^2 \right ] = {\it \lambda}_0 \cdot \alpha^6 + {\it \lambda}_1 \cdot \alpha^{12} + \alpha^{18} \hspace{0.05cm}.\]

In Vektorform lautet dieses Gleichungssystem mit dem Hilfsvektor A = (A₀, A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆):

\[\underline {A}^{\rm T}=\begin{pmatrix} A_0\\ A_1\\ A_2\\ A_3\\ A_4\\ A_5\\ A_6 \end{pmatrix} \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 \\ \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 \\ \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^9 \\ \alpha^4 & \alpha^8 & \alpha^{12}\\ \alpha^5 & \alpha^{10} & \alpha^{15}\\ \alpha^6 & \alpha^{12} & \alpha^{18} \end{pmatrix} \hspace{0.15cm}\cdot \hspace{0.15cm} \begin{pmatrix} {\lambda}_0\\ {\lambda}_1\\ 1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.\]

Wir erweitern nun den ELP–Koeffizientenvektor Λ durch Anhängen von Nullen auf die Länge n – k. Im betrachteten Beispiel erhält man somit Λ = (λ₀, λ₁, 1, 0) und folgende Vektorgleichung:

\[\underline {A}^{\rm T} \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4\\ \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^8\\ \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^9 & \alpha^{12}\\ \alpha^4 & \alpha^8 & \alpha^{12} & \alpha^{16}\\ \alpha^5 & \alpha^{10} & \alpha^{15} & \alpha^{20}\\ \alpha^6 & \alpha^{12} & \alpha^{18} & \alpha^{24} \end{pmatrix} \hspace{0.15cm}\cdot \hspace{0.15cm} \begin{pmatrix} {\lambda}_0\\ {\lambda}_1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.\]

Aus der 7 × 3–Matrix wurde nun eine 7 × 4–Matrix. Ddie vierte Spalte kann eigentlich beliebig gefüllt werden, da alle Elemente mit Nullen multipliziert werden. Durch die hier gewählte Ergänzung erhält man die transponierte Prüfmatrix des RSC (7, 3, 5)₈, und man kann für die letzte Vektorgleichung schreiben:

\[\underline {A}^{\rm T} = { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T} \cdot \underline {\it \Lambda }^{\rm T} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline {A} = \underline {\it \Lambda } \cdot { \boldsymbol{\rm H }} \hspace{0.05cm}.\]

Da aber für die Fehlerstellen (e_i ≠ 0) stets A_i = Λ(αⁱ) = 0 gilt, ist das Produkt A_i · e_i immer 0 und man erhält als Bestimmungsgleichung für die Nullstellen des Error Locator Polynoms:

\[\underline {A}^{\rm T} \cdot \underline {e}^{\rm T} = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline {\it \Lambda } \cdot { \boldsymbol{\rm H }} \cdot \underline {e}^{\rm T} = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline {\it \Lambda } \cdot \underline {s}^{\rm T} = 0 \hspace{0.05cm}.\]

Daraus folgt das wichtige Zwischenergebnis: Die nichttrivialen Nullstellen (ungleich 0) λ₀, λ₁, ... des Error Locator Polynoms Λ(x) müssen stets der Vektorgleichung Λ · s^T = 0 genügen, wobei Λ den ELP–Koeffizientenvektor bezeichnet und s = y · H^T das Syndrom angibt.

Schritt (B): Aufstellen/Auswerten des ELP–Koeffizientenvektors (1)

Bevor wir das Zwischenergebnis Λ · s^T = 0 an einem Beispiel verdeutlichen können, müssen noch einige Verallgemeinerungen vorgenommen werden. Der Grund hierfür ist:

• Die Gleichung Λ · s^T = 0 liefert nur eine einzige Bestimmungsgleichung. Damit kann das Problem für r = 1 gelöst werden, wenn man sicher ist, dass tatsächlich nur ein Symbol verfälscht wurde.
  

• Ist man sich dessen nicht sicher, führt aber die Berechnung trotzdem für r = 1 durch, so braucht man noch eine zweite Gleichung (oder auch mehrere), um die Annahme zu verifizieren.
  
  

Die Eigenschaft des Error Locator Polynoms, dass Λ(αⁱ) nur für e_i ≠ 0 (i–tes Symbol verfälscht) gleich Null ist, bleibt erhalten, wenn man Λ(x) mit beliebigen Potenzen von x multipliziert. Jede Multiplikation mit x bedeutet für den ELP–Koeffizientenvektor eine Verschiebung um eine Stelle nach rechts.

Mit der verallgemeinerten Definition (wobei Λ₁(x) dem bisherigen Λ(x) entspricht),

\[{\it \Lambda}_l(x)=x^l \cdot \prod_{i\hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} I_{\rm FP}}(x-\alpha^i) =x^l \cdot \big [{\it \lambda}_0 + \lambda_1 \cdot x+\ldots+{\it \lambda}_{r-1} \cdot x^{r-1}+x^r \big ]\hspace{0.05cm},\]

ergeben sich durch sukzessive Verschiebung gegenüber Λ die ELP–Koeffizientenvektoren Λ_l. Die Grafik zeigt die Belegung unter der Annahme von 1 ≤ r ≤ 3 Fehlerstellen im Vektor e. Man erkennt:

• Die Länge aller Λ_l ist stets n – k. Jeder Vektor beinhaltet jeweils r Koeffizienten λ_i(0 ≤ i < r) und eine Eins. Der Rest eines jeden Vektors ist mit Nullen aufgefüllt.
  

• Für jedes r gibt es genau n–k–r Koeffizientenvektoren Λ_l, wobei sich Λ_l aus Λ_l–1 stets durch Rechtsverschiebung um eine Position ergibt. Der Vektor Λ_n–k–r endet immer mit einer 1.
  

• Das Gleichungssystem Λ_l · s^T = 0 führt deshalb zu n – k – r Gleichungen. Der gewählte Ansatz für r ist nur dann richtig, wenn alle Gleichungen zu den gleichen Ergebnissen für λ₀, ... , λ_r–1 führen.
  

• Ist dies nicht der Fall, so muss man r erhöhen und damit ein neues Gleichungssystem bearbeiten, und zwar solange, bis sich aus allen Gleichungen für das aktuelle r eine eindeutige Lösung ergibt.
  

• Ist schließlich r größer als die Korrekturfähigkeit t des Codes, so kann die Berechnung beendet werden. Das anstehende Empfangswort y ist dann nicht decodierbar.
  

Schritt (B): Aufstellen/Auswerten des ELP–Koeffizientenvektors (2)

Hier nochmals die verallgemeinerte Definition für das Error Locator Polynom (ELP):

\[{\it \Lambda}_l(x)=x^l \cdot \prod_{i\hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} I_{\rm FP}}(x-\alpha^i) =x^l \cdot \big [{\it \lambda}_0 + \lambda_1 \cdot x+\ldots+{\it \lambda}_{r-1} \cdot x^{r-1}+x^r \big ]\hspace{0.05cm}.\]

Dieses lässt sich am einfachsten mit den verschobenen ELP–Koeffizientenvektoren Λ_l auswerten, wie im folgenden Beispiel gezeigt wird. Hierbei beziehen wir uns auf die Grafik auf der letzen Seite, die Λ_l–Belegung unter der Annahme r = 1, r = 2 oder r = 3 Fehler im Fehlervektor e zeigt.

B: Es gelten weiterhin die im Beispiel A genannten Voraussetzungen. Dort wurde aufgrund des Syndroms s = (α⁵, α², α³, α) ≠ 0 auch nachgewiesen, dass der Empfangsvektor y verfälscht wurde ⇒ Fehlervektor e ≠ 0. Nicht bekannt ist allerdings die tatsächliche Symbolfehleranzahl r.

Unter der Annahme eines einzigen falschen Symbols (r = 1) erhält man folgendes Gleichungssystem (hier in Matrixform geschrieben):

\[\big ({ \boldsymbol{\it \Lambda }}_l \big) \cdot \underline {s} ^{\rm T}= \begin{pmatrix} \lambda_0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha^5\\ \alpha^2\\ \alpha^3\\ \alpha \end{pmatrix} \stackrel{!}{=} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha^5 \cdot \lambda_0 + \alpha^2 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \lambda_0 = \alpha^{2-5}= \alpha^{-3}= \alpha^{4}\hspace{0.05cm},\] \[\hspace{0.8cm}\alpha^2 \cdot \lambda_0 + \alpha^3 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \lambda_0 = \alpha^{3-2}= \alpha\hspace{0.05cm},\] \[\hspace{0.8cm}\alpha^3 \cdot \lambda_0 + \alpha^1 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \lambda_0 = \alpha^{1-3}= \alpha^{-2} = \alpha^{5} \hspace{0.05cm}.\]

Diese drei Gleichungen liefern drei unterschiedliche Lösungen für λ₀, was nicht zielführend ist.

Deshalb stellen wir nun ein weiteres Gleichungssystem auf, und zwar unter der Annahme r = 2:

\[\big ({ \boldsymbol{\it \Lambda }}_l \big) \cdot \underline {s} ^{\rm T}= \begin{pmatrix} \lambda_0 & \lambda_1 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda_0 & \lambda_1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha^5\\ \alpha^2\\ \alpha^3\\ \alpha \end{pmatrix} \stackrel{!}{=} \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} \]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha^5 \cdot \lambda_0 + \alpha^2 \cdot \lambda_1 + \alpha^3 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.05cm},\] \[\hspace{0.8cm}\alpha^2 \cdot \lambda_0 + \alpha^3 \cdot \lambda_1 + \alpha^1 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.05cm}.\]

Dieses Gleichungssystem ist nun eindeutig lösbar. Man erhält λ₀ = α² und λ₁ = α⁶. Das bedeutet: Die Annahme, dass tatsächlich r = 2 Positionen des Empfangsvektors y verfälscht wurden, ist richtig.

Man weiß aber noch nicht, welche Positionen verfälscht wurden. Soviel vorneweg; Es sind nicht die Positionen 2 und 6, sondern die Symbolpositionen 0 und 2, wie im folgenden Beispiel C gezeigt wird.

Schritt (C): Lokalisierung der Fehlerstellen

Nach Abarbeitung von Schritt (B) sind bekannt:

• die Anzahl r der Fehlerstellen e_i ≠ 0 im Vektor e = (e₀, ... , e_i, ... , e_n–1),
  

• die Koeffizienten λ₀, ... , λ_r–1 des Error Locator Polynoms.
  
  

Zu bestimmen ist nun noch die Menge der Fehlerpositionen:

\[I_{\rm FP} = \{ i \hspace{0.1cm}| \hspace{0.1cm} e_i \ne 0,\hspace{0.1cm} 0 \le i < n \}\hspace{0.05cm}.\]

Hierzu gibt es zwei Möglichkeiten:

• die so genannte Chien–Suche, in dem man durch Einsetzen der möglichen Codesymbole außer dem Nullsymbol  ⇒ αⁱ (0 ≤ i < n)  in das Error Locator Polynom dessen Nullstellen er- mittelt,
  

• die Auswertung der Gleichung A = (A₀, ... , A_i, ... , A_n–1) = Λ · H mit der Abkürzung A_i = Λ(αⁱ).
  
  

Beide Verfahren werden im folgenden Beispiel angewendet.

: In Beispiel B wurde entsprechend den in Beispiel A genannten Randbedingungen ermittelt, dass r = 2 Symbolfehler vorliegen und die ELP–Koeffizienten λ₀ = α² und λ₁ = α⁶ lauten. Damit ergibt sich das Error Locator Polynom:

\[{\it \Lambda}(x)=x \cdot \big [{\it \lambda}_0 + \lambda_1 \cdot x+x^2 \big ] =x \cdot \big [\alpha^2 + \alpha^6 \cdot x+x^2 \big ]\hspace{0.05cm}.\]

Entsprechend der Chien–Suche erhält man

\[{\it \Lambda}(\alpha^0)\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm}\alpha^0 \cdot \big [ \alpha^2 + \alpha^6 \cdot 1 + 1 \big ] = \] \[\hspace{1.4cm} = \hspace{0.15cm} \alpha^2 + (\alpha^2 + 1) + 1 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm Nullstelle}}\hspace{0.05cm},\] \[{\it \Lambda}(\alpha^1)\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm}\alpha^1 \cdot \big [\alpha^2 + \alpha^6 \cdot \alpha^1 + \alpha^2\big ]=\] \[\hspace{1.4cm} = \hspace{0.15cm} \alpha^1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Keine\hspace{0.15cm} Nullstelle}\hspace{0.05cm},\] \[{\it \Lambda}(\alpha^2)\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm}\alpha^2 \cdot \big [ \alpha^2 + \alpha^6 \cdot \alpha^2 + \alpha^4 \big ] =\alpha^4 + \alpha^{10} + \alpha^6 =\] \[ \hspace{1.4cm} = \hspace{0.15cm} (\alpha^2 + \alpha) + (\alpha + 1) + (\alpha^2 + 1) =\] \[ \hspace{1.4cm}= \hspace{0.15cm}0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm Nullstelle}}\hspace{0.05cm}.\]

Damit sind die beiden Fehlerpositionen mit i = 0 und i = 2 gefunden und der Fehlervektor lautet: e = (e₀, 0, e₂, 0, 0, 0, 0).

Die Vektorgleichung A = Λ · H liefert das gleiche Ergebnis in kompakterer Form:

\[\underline {A} \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} \underline{\it \Lambda} \cdot { \boldsymbol{\rm H }} = (\alpha^2, \alpha^6, 1, 0) \cdot \begin{pmatrix} 1 & \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 & \alpha^5 & \alpha^6 \\ 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^3 & \alpha^5 \\ 1 & \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^3 & \alpha^5 & \alpha^1 & \alpha^4 \\ 1 & \alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^5 & \alpha^2 & \alpha^6 & \alpha^3 \end{pmatrix} = \] \[ \hspace{0.5cm} = \hspace{0.15cm}(\alpha^2,\alpha^3,\alpha^4,\alpha^5,\alpha^6,1 ,\alpha^1) + (\alpha^6,\alpha^1,\alpha^3,\alpha^5,1 ,\alpha^2,\alpha^4)+\] \[ \hspace{0.5cm}+ \hspace{0.15cm} (1, \alpha^3,\alpha^6,\alpha^3,\alpha^5,\alpha^1,\alpha^4) = (0,\alpha^1,0,\alpha^3,\alpha^3,\alpha^5,\alpha^1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} A_0 = A_2 = 0\hspace{0.05cm}.\]

Fortsetzung im Beispiel D auf der nächsten Seite.

Schritt (D): Abschließende Fehlerkorrektur

Im letzten Schritt müssen nun nur noch die r Symbolfehler korrigiert werden, deren Positionen nach Beendigung von Schritt (D) bekannt sind:

• Markiert man die Fehlerpositionen im Empfangswort y als Auslöschungen E (Erasures), so kann das zugehörige Codewort z entsprechend der Beschreibung im Kapitel 2.4 gefunden werden.
  

• Eine zweite Möglichkeit bietet die Bestimmung des Fehlervektors e aus der Gleichung e · H^T = s und die Korrektur entsprechend z = y – e. Diese liegt dem folgenden Beispiel zugrunde.
  
  

D: In Beispiel A wurde das Empfangswort mit y = (α³, 1, 0, α¹, α², α⁵, α⁵) vorgegeben und daraus das Syndrom s = (α⁵, α², α³, α) ermittelt. Nach den Berechnungen im Beispiel C lautet der Fehlervektor e = (e₀, 0, e₂, 0, 0, 0, 0). Alle diese Angaben gelten für den RSC (7, 3, 5)₈.

Aus e · H^T = s erhält man nun folgende Bestimmungsgleichungen für die Fehlerwerte e₀ und e₂:

\[\underline {e} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}= \begin{pmatrix} e_0 & 0 & e_2 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4\\ \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1\\ \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^{5}\\ \alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^{5} & \alpha^{2}\\ \alpha^5 & \alpha^{3} & \alpha^{1} & \alpha^{6}\\ \alpha^6 & \alpha^{5} & \alpha^{4} & \alpha^{3} \end{pmatrix} \stackrel{!}{=} \underline {s} = \begin{pmatrix} \alpha^5 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^1 \end{pmatrix} \]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm}e_0 \cdot (1, 1, 1, 1) + e_2 \cdot ( \alpha^2, \alpha^4, \alpha^6, \alpha^1)\stackrel{!}{=} ( \alpha^5, \alpha^2, \alpha^3, \alpha^1)\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} e_0 + e_2 \cdot \alpha^2 = \alpha^5\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e_0 + e_2 \cdot \alpha^4 = \alpha^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e_0 + e_2 \cdot \alpha^6 = \alpha^3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e_0 + e_2 \cdot \alpha^1 = \alpha^1\hspace{0.05cm}.\]

Alle diese Gleichungen führen zum Ergebnis e₀ = 1, e₂ = α². Damit lautet das korrigierte Codewort:

\[\hspace{0.8cm}\underline {y} \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} (\alpha^3,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \alpha^1,\hspace{0.05cm} \alpha^2,\hspace{0.05cm} \alpha^5,\hspace{0.05cm} \alpha^5)\hspace{0.05cm},\] \[\hspace{0.8cm}\underline {e} \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} (1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \alpha^2,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0)\hspace{0.05cm},\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline {z} \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} \underline {y} - \underline {e} = \underline {y} + \underline {e}= (\alpha^1,\hspace{0.03cm} 1,\hspace{0.03cm} \alpha^2,\hspace{0.03cm} \alpha^1,\hspace{0.03cm} \alpha^2,\hspace{0.03cm} \alpha^5,\hspace{0.03cm} \alpha^5)\hspace{0.05cm}. \]

Schnelle Reed–Solomon–Decodierung

Die Klasse der Reed–Solomon–Codes wurde bereits im Jahre 1960 durch die Veröffentlichung [RS60] eingeführt. Ihre effiziente Decodierung war jedoch erst ein bis zwei Jahrzehnte später möglich.

Auf den letzten Seiten haben wir den so genannten Petersen–Algorithmus inklusive der Chien–Suche am Beispiel des RSC (7, 3, 5)₈ demonstriert, der bis zu t = 2 Fehler korrigieren kann. Im Mittelpunkt des Decodiervorgangs stand dabei das Aufstellen und Lösen der Schlüsselgleichung (englisch: Error Locator Polynom), wobei die Nullstellen eines Grad–2–Polynoms in GF(7) gefunden werden mussten. Sie konnten erkennen, dass diese algebraische Decodierung mit großem Aufwand verbunden ist.

Bei den in Praxis eingesetzten Codes mit großer Codewortlänge n und hoher Korrekturfähigkeit t würde der Decodieraufwand explodieren, wenn nicht schnellere Decodieralgorithmen gefunden worden wären. So müssen beim Reed–Solomon–Code (255, 223, 33)₂₅₆, der schon früh im ESA/NASA–Standard zur Satellitenübertragung genannt wurde, zur Decodierng eines einzigen Codewortes die bis zu t = 16 Nullstellen im GF(255) gefunden werden, und das auch noch in Echtzeit.

Ab Ende der 1960er Jahre haben sich viele Wissenschaftler um schnellere Decodieralgorithmen für Reed–Solomon–Codes bemüht:

• Beim Berlekamp–Massey–Algorithmus (BMA) wird die Schlüsselgleichung Λ · s^T = 0 als rückgekoppeltes Schieberegister dargestellt, siehe zum Beispiel [Mas69], [Fri96] und [Bos98]. Das Problem wird damit auf die Synthese eines autoregressiven Filters zurückgeführt. Dieser Algorithmus arbeitet wesentlich schneller als der (leichter durchschaubare) Petersen–Algorithmus.
  

• Etwas später wurde in [SK+75] ein Decodierverfahren vorgeschlagen, das auf dem Euklidischen Algorithmus basiert. Dieser liefert den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen, was zur Decodierung genutzt wird. Der Euklidische Algorithmus ist vergleichbar schnell wie der BMA. Genauere Informationen finden Sie wieder in [Bos98] und [Fri96].
  

• Weitere effiziente Decodiernethoden von Reed–Solomon–Codes arbeiten im Frequenzbereich unter Verwendung der Diskreten Fouriertransformation (DFT) im Körper GF(n).
  
  

Die Grundzüge der Reed–Solomon–Fehlerkorrektur wurden bereits in den 1960er Jahren entwickelt. Aber bis in die heutige Zeit (2013) ist die (möglichst schnelle) algebraische Decodierung dieser Codes ein hochaktuelles Forschungsgebiet.

Aufgaben

A2.12 Decodierung beim RSC(7, 4, 4)(Base 8)

A2.13 Nun RSC (7, 3, 5)(Base 8)–Decodierung

A2.14 Petersen–Algorithmus