Exercise 2.3: Cosine and Sine Components

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Gegeben ist das Amplitudenspektrum $X(f)$ eines Signals $x(t)$. Die Normierungsfrequenz sei $f_1 = 4$ kHz. Damit liegen die Frequenzen der Signalanteile bei 0 kHz, 4 kHz und 10 kHz (siehe Grafik). Dieses Signal $x(t)$ liegt am Eingang eines linearen Differenzierers, dessen Ausgang wie folgt dargestellt werden kann ($\omega_1 = 2\pi f_1$):

$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{\rm d \it x(t)}{\rm d \it t}.$$

Fragebogen

1

Geben Sie $x(t)$ analytisch an. Wie groß ist der Signalwert bei $t = 0$?

$x(t=0)$ = V

2

Wie groß ist die Periodendauer des Signals $x(t)$?

$T_0$ = ms

3

Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers. Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 0$?

$y(t=0)$ = V

4

Welche der nachfolgenden Aussagen sind bezüglich des Signals $y(t)$ bzw. seines Spektrums $Y(f)$ zutreffend?

	$y(t)$ hat die gleiche Periodendauer wie das Signal $x(t)$.
	$Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei der Frequenz $f$ = 0.
	$Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $f_1$ mit Gewicht j · 1V.
	$Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei –2.5$f_1$ mit Gewicht 5V.

Musterlösung

Solution

1. Das Zeitsignal hat die folgende Form:

$$x(t)=\rm 3V-2V\cdot \cos(\it \omega_{\rm 1} t)+\rm 4V\cdot \sin(2.5\omega_{\rm 1} \it t).$$

Hierbei bezeichnet $\omega_1 = 2\pi f_1$ die Kreisfrequenz des Cosinusanteils. Zum Zeitpunkt $t = 0$ hat das Signal den Wert 1V.

2. Die Grundfrequenz $f_0$ ist der kleinste gemeinsame Teiler von $f_1 = 4$ kHz und $2.5 · f_1$ = 10 kHz. Daraus folgt $f_0$ = 2 kHz und $T_0$ = $1/f_0$ = $0.5 ms$.

3. Für das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers gilt:

$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d}x(t)}{{\rm d}t}=\frac{ {\rm -2V}}{\omega_1}\cdot\omega_1 \cdot (-\sin(\omega_1 t))+\frac{\rm 4V}{\omega_1}\cdot 2.5\omega_1\cdot {\rm cos}(2.5\omega_1t).$$

Dies führt zum Ergebnis:

$$y(t)={\rm 2V}\cdot\sin(\omega_1 t)+{\rm 10V}\cdot\cos(2.5\omega_1 t).$$

Für den Nullzeitpunkt ergibt sich der Wert 10 V. Nebenstehend sehen Sie das Spektrum $Y(f)$.

4. Die Periodendauer $T_0$ wird durch die Amplitude und die Phase der beiden Anteile nicht verändert. Das bedeutet, dass weiterhin $T_0$ = 0.5 ms gilt. Der Gleichanteil verschwindet aufgrund der Differentiation. Der Anteil bei $f_1$ ist sinusförmig. Somit hat $X(f)$ einen (imaginären) Dirac bei $f = f_1$, jedoch mit negativem Vorzeichen. Der Cosinusanteil mit der Amplitude 10 V hat die beiden Diracfunktionen bei $\pm 2.5 \cdot f_1$ zur Folge, jeweils mit dem Gewicht 5 V. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 4.