Exercise 2.6Z: Magnitude and Phase

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Es soll der Zusammenhang zwischen

• den reellen Fourierkoeffizienten $A_n$ und $B_n$,

• den komplexen Koeffizienten $D_n$, sowie

• den Betrags– bzw. Phasenkoeffizienten ($C_n$, $\varphi_n$)

aufgezeigt werden.

Dazu betrachten wir das periodische Signal

$$x(t)=1{\rm V+2V}\cdot\cos(\omega_0 t) +{\rm 2V}\cdot\cos(2\omega_0 t)- \ {\rm 1V}\cdot\sin(2\omega_0 t)-{\rm 1V}\cdot\sin(3\omega_0 t).$$

Dieses Signal ist in obiger Grafik im Bereich von $–2T_0$ bis $+2T_0$ dargestellt.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fourierreihe.
• Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den folgenden Lernvideos Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten (Dauer 3:50) und Eigenschaften und Genauigkeit der Fourierreihe.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Welche Werte besitzen die Koeffizienten $A_0$, $D_0$, $C_0$ und $\varphi_0$?

$C_0$ =  $\text{V}$

$\varphi_0$ =  $\text{Grad}$

2

Welche der Cosinus– und Sinuskoeffizienten sind ungleich Null?

	$A_1$,
	$B_1$,
	$A_2$,
	$B_2$,
	$A_3$,
	$B_3$.

3

Welche Werte besitzen die Koeffizienten $\varphi_1$, $C_1$ und $D_1$?

$\varphi_1$ =  $$\text{Grad}$

$C_1$ =  $$\text{V}$

$\text{Re}[D_1]$ =  $$\text{V}$

$\text{Im}[D_1]$ =  $$\text{V}$

4

Welche Werte besitzen die Koeffizienten $\varphi_2$, $C_2$ und $D_2$?

$\varphi_2$ =  $\text{Grad}$

$C_2$ =  $\text{V}$

$\text{Re}[D_2]$ =  $\text{V}$

$\text{Im}[D_2]$ =  $\text{V}$

5

Welche Werte besitzen die Koeffizienten $\varphi_3$ und $C_3$?

$\varphi_3$ =  $\text{Grad}$

$C_3$ =  $\text{V}$

6

Wie groß ist der komplexe Fourierkoeffizient $D_\text{–3}$?

$\text{Re}[D_{-3}]$ =  $\text{V}$

$\text{Im}[D_{-3}]$ =  $\text{V}$

Musterlösung

Solution

1. Der Gleichsignalkoeffizient beträgt $A_0 = 1\,{\rm V}$. Gleichzeitig gilt $C_0 = D_0 = A_0 \rightarrow C_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 1,{\rm V}}, \varphi_0 \underline{= 0}$.

2. Es gibt keine Anteile mit $sin(\omega_0t)$ und $cos(3\omega_0t)$. Daraus folgt direkt $B_1 = A_3 = 0$. Alle anderen hier aufgeführten Koeffizienten sind ungleich 0. ⇒ Richtig sind also die Antworten 1, 3, 4 und 6.

3. Allgemein gilt:

$$\varphi_n=\arctan\left(\frac{B_n}{A_n}\right),\hspace{0.5cm}C_n=\sqrt{A_n^2+B_n^2},\hspace{0.5cm}D_n=\frac{1}{2}(A_n-{\rm j}B_n).$$

Wegen $B_1 = 0$ erhält man $\varphi_1 = 0, C_1 = A_1 = 2 V$ und $D_1 = A_1/2 = 1 V$.

4. Mit $A_2 = 2 V$ und $B_2 = –1 V$ erhält man:

$$\varphi_2=\arctan(-0.5)\hspace{0.15cm}\underline{=-26.56^{\rm o}},\hspace{0.5cm}C_2=\sqrt{A_2^2+B_2^2}\hspace{0.15cm}\underline{=2.236 \; \rm V},$$

$$D_2=\frac{1}{2}(A_2-{\rm j}\cdot B_2)=1\;\rm V+{\rm j}\cdot 0.5 \rm V \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re}[D_2]\hspace{0.15cm}\underline{ = 1 V}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}[D_2]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5 V} .$$

5. Es ist $\varphi_3 = –90°$ und $C_3 = |B_3| = 1 V$.

6. Es gilt $D_3 = –j · B_3/2 = j · 0.5 V$ und $D_\text{–3} = D_3^{\star} = j · B_3/2 = –j · 0.5 V$.