Exercise 3.2: From the Spectrum to the Signal

Spektraldarstellung der Sprungfunktion (Aufgabe A3.2)

Gegeben sei die Spektralfunktion

$$X(f) = \frac{{2\,{\rm V}}}{ { {\rm j}\pi f}}.$$

Die zugehörige Zeitfunktion $x(t)$ kann mit Hilfe des zweiten Fourierintegrals ermittelt werden:

$$\begin{align*} x(t) & = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X(f)} \cdot {\rm e}^{{\rm j}2\pi ft} {\rm d} f =\\ & = x_{\rm R} (t) + {\rm j} \cdot x_{\rm I} (t)\end{align*},$$

wobei für den Realteil bzw. Imaginärteil gilt:

$$x_{\rm R} (t) = 2\,{\rm V} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\sin ( {2\pi ft} )}}{ {\pi f}}}\hspace{0.1cm} {\rm d}f, \hspace{0.5cm}x_{\rm I} (t) = -2\, {\rm V} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{ {\cos ( {2\pi ft} )}}{ {\pi f}}} \hspace{0.1cm}{\rm d}f.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fouriertransformation und -rücktransformation.
Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo Unterschiede und Gemeinsamkeiten von kontinuierlichen und diskreten Spektren.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Zur Lösung dieser Aufgabe können Sie auf die folgenden Formeln zurückgreifen:

$$\int {t \cdot \cos \left( {\omega _0 t} \right){\rm d}t = \frac{{\cos \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 ^2 }} + \frac{{t \cdot \sin \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 }, \hspace{0.5cm} \sin ^2 \left( \alpha \right) = {1}/{2} \cdot \left( {1 - \cos \left( {2\alpha } \right)} \right).$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 3.1. Benutzen Sie zur Lösung eventuell die nachfolgenden Angaben:

$$x( {t = 0}) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X( f )}\hspace{0.1cm} {\rm d}f,\hspace{0.5cm} X( {f = 0} ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t)}\hspace{0.1cm} {\rm d}t ,$$

$$\int_0^\infty {\frac{{\sin ( {ax} )}}{x}}\hspace{0.1cm} {\rm d}x = {\rm sign} ( a ) \cdot \frac{\pi }{2}.$$

Fragebogen

Musterlösung

Solution

1. Beim Signalanteil $x_I(t)$ ist der Integrand eine ungerade Funktion (gerader Zähler, ungerader Nenner). Somit ist das Integral von $-\infty$ bis $+\infty$ gleich Null. Demgegenüber liefert beim reellen Anteil $x_R(t)$ der gerade Integrand (ungerader Zähler, ungerader Nenner) einen von Null verschiedenen Wert. Daraus folgt: $x(t)$ ist rein reell.

2. Mit $a = 2\pi t$ kann für das Zeitsignal geschrieben werden:

$$x(t) = x_{\rm R} \left( t \right) = \frac{{4\,{\rm V}}}{\pi }\int_0^\infty {\frac{{\sin( {af} )}}{f}}\hspace{0.1cm} {\rm d}f.$$

Dies führt unter Verwendung des angegebenen bestimmten Integrals zum Ergebnis:

$$x(t) = \frac{{4\,{\rm V}}}{\pi } \cdot \frac{\pi }{2} \cdot {\mathop{\rm sign}\nolimits} ( t ) = 2\;{\rm V} \cdot {\mathop{\rm sign}\nolimits} ( t ).$$

Für $t > 0$ ist $x(t) = +2$ V. Entsprechend gilt $x(t) = –2$ V für $t < 0$. Das Signal $x(t)$ beschreibt also eine Sprungfunktion von –2 V auf +2 V.

3. Bei $t = 0$ besitzt $x(t)$ eine Sprungstelle. Der rechtsseitige Grenzwert für $t \rightarrow 0$ lautet $x_+ = 2$ V. Nähert man sich von negativen Zeiten der Sprungstelle beliebig nahe, so erhält man $x_– = –2$ V. Für den tatsächlichen Signalwert bei $t = 0$ gilt dann:

$$x( {t = 0} ) = \frac{1}{2}\cdot ( x_{+} + x_{-} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$

Zum gleichen Ergebnis kommt man bei Berücksichtigung der Beziehung

$$x( t = 0) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X( f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = 0.$$

4. Der Spektralwert bei $f = 0$ ist gleich dem Integral von $-\infty$ bis $+\infty$ über die Zeitfunktion $x(t)$:

$$X( f = 0) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t)}\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$

Hier noch ein zweiter Lösungsweg: Der rechtsseitige Grenzwert für $f$ → 0 ist $X_+ = –\text{j} \cdot \infty$, der linksseitige Grenzwert $X_- = \text{j} \cdot \infty$. Auch bezüglich des Spektralwertes bei $f = 0$ gilt also der Zusammenhang:

$$X( {f = 0}) = {1}/{2}\cdot \left( {X_{ +} + X_{-} } \right) = 0.$$

	$x(t)$ ist eine komplexe Funktion.
	$x(t)$ ist rein reell.
	$x(t)$ ist rein imaginär.