Exercise 3.9Z: Convolution of Gaussian Pulses

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Es soll das Faltungsergebnis zweier Gaußfunktionen ermittelt werden. Wir betrachten einen gaußförmigen Eingangsimpuls ${x(t)}$ mit der Amplitude $x_0 = 1\,\text{ V}$ und der äquivalenten Dauer $\Delta t_x = 4 \,\text{ms}$ sowie eine ebenfalls gaußförmige Impulsantwort ${h(t)}$, welche die äquivalente Dauer $\Delta t_h = 3 \,\text{ms}$ aufweist:

$$x( t ) = x_0 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_x } )^2 } ,$$

$$h( t ) = \frac{1}{\Delta t_h } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_h } )^2 } .$$

Gesucht ist das Ausgangssignal ${y(t)} = {x(t)} ∗{h(t)}$, wobei der Umweg über die Spektralfunktionen gegangen werden soll.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Faltungssatz und Faltungsoperation.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Geben Sie die Spektralfunktionen ${X(f)}$ und ${H(f)}$ an. Welche Werte ergeben sich für die Frequenz $f = 0$?

$X(f = 0)$  =  $\text{mV/Hz}$

$H(f = 0)$  =

2

Berechnen Sie die Spektralfunktion ${Y(f)}$ des Ausgangssignals. Wie groß ist der Spektralwert bei $f = 0$?

$Y(f = 0)$ &nbsp=  $\text{mV/Hz}$

3

Berechnen Sie den Ausgangsimpuls ${y(t)}$. Welche Werte ergeben sich für die Amplitude $y_0 = y(t = 0)$ und die äquivalente Impulsdauer $\Delta t_y$?

$y_0$ &nbsp=  $\text{V}$

$\Delta t_y$ =  $\text{ms}$

Musterlösung

Solution

1. Durch Fouriertransformation erhält man:

$$X( f ) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x \cdot f} \right)^2 } ,$$

$$H(f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_h \cdot f} \right)^2 } .$$

Die gesuchten Werte sind $\underline{X(f = 0) = 4 · 10^{–3} \text{V/Hz}}$ und $\underline{H(f = 0) = 1}$.

2. Der Faltung im Zeitbereich entspricht die Multiplikation im Frequenzbereich:

$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2 } \right)f^2 } .$$

Mit der Abkürzung $\Delta t_y = (\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2)^{1/2} = 5 \text{ms}$ kann hierfür auch geschrieben werden:

$$Y(f) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y \cdot f} \right)^2 } .$$

Bei der Frequenz $f = 0$ sind die Spektralwerte am Eingang und Ausgang des Gaußfilters gleich, also gilt $\underline{Y(f = 0) = 4 \cdot 10^{–3} \text{V/Hz}}$. Der Funktionsverlauf von $\text{Y(f)}$ ist schmaler als $\text{X(f)}$ und auch schmaler als $\text{H(f)}$.

3. Es gilt die folgende Fourierkorrespondenz:

$${\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y \cdot f} \right)^2 }\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{1}{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$

Damit erhält man:

$$y(t) = x(t) * h(t) = x_0 \cdot \frac{\Delta t_x }{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$

Der Maximalwert des Signals $\text{y(t)}$ liegt ebenfalls bei $t = 0$ und beträgt $y_0 \underline{= 0.8 V}$. Die äquivalente Impulsdauer ergibt sich zu $\Delta t_y \underline{= 5 \text{ms}}$ (siehe obiges Bild, rechte Skizze). Das bedeutet: Das Gaußfilter $\text{H(f)}$ bewirkt, dass der Ausgangsimpuls $\text{y(t)}$ kleiner und breiter als der Eingangsimpuls $\text{x(t)}$ ist. Die Impulsform bleibt weiterhin gaußförmig.